¿Lo que ' s la magnitud de un número real?

Question

Como estudiante de matemáticas (primer año de máster) tengo que admitir que estoy un poco avergonzado de pedir esto.

Sabemos que si $z=x+iy$ es un número complejo, entonces podemos identificar como $z=r\cdot\exp(i\theta)$. Pero lo que si $z$ es real - en otras palabras, su $y$ es igual a 0? A continuación, $z=r\exp(i\cdot0)=r$ y esto significa que $z$ sería igual a su magnitud $r$ si $z$ es positivo. Pero lo que si $z$ es negativo? Sabemos que la magnitud es siempre positivo y así llegaremos $z$(negativo) = $r$(positiva)?

Estoy seguro de que hay algo que me estoy perdiendo aquí.

Answer 1

Si$z$ es real, entonces$\theta =0$ cuando$z > 0$ y$\theta = \pi$ cuando$z < 0$.

Entonces$e^{i\theta} = 1$ cuando$z > 0$ y$e^{i\theta} = -1$ cuando$z < 0$.

Answer 2

En ambos casos, la magnitud de un número es simplemente su distancia de cero. Si $z=x+iy$, esto es simplemente $\sqrt{x^2+y^2}$, por Pitágoras. Así que por un real, $$ \lvert x \rvert = \lvert x+0i \rvert = \sqrt{x^2} \geq 0. $ $

Answer 3

Podría ser útil representar el número complejo en el plano complejo. Recuerde que theta se encuentra considerando un segmento de línea desde el origen a su complejo número y encontrar la medida del ángulo en posición estándar. Para trazar un número real negativo en el plano complejo le daría theta = $\pi$.

Answer 4

En la definición de $z = r e^{j\theta}$, por definición, la magnitud $r$ $\ge 0$. Si tienes un $z$, que $\Im(z) = 0$ y $\Re(z)

Answer 5

Por identidad de Euler, $$e^{i\pi}=-1,$ $

que es cómo consigue corregir el signo, via $\theta=\pi$.