Multicelular de Gaussian integral sobre la esfera unidad

Question

Me gustaría evaluar la integral asintóticamente sobre la unidad de la esfera de la superficie $$ Z =\int e^{\cos^2 \theta + b \sin^2\theta\cos2\phi + c\cos\theta} d\Omega = \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos^2 \theta + b \sin^2\theta\cos2\phi + c\cos\theta} \sin\theta d\phi d\theta $$ para $a\rightarrow \pm\infty$ $b\rightarrow\infty$ si $c$ implictly por la restricción $$ L = \frac{\partial \ln Z}{\partial c}$$ for a fixed $0<L<1$. Con las variables de cambio $s=\cos\theta$, \begin{align} Z &= 2\pi\int_{-1}^1 e^{a s^2+c s}\, I_0[b (1-s^2)] ds\,, \\ L &= \frac{\int_{-1}^1 s\, e^{a s^2+c s} I_0[b (1-s^2)]\, ds }{\int_{-1}^1 e^{a s^2+c s} I_0[b (1-s^2)]\, ds }\,. \end{align}

donde $I_0(x)$ es la función de Bessel de primera especie. (Alternativamente, el $\theta$ integral puede ser evaluado para cualquier $\phi$ el uso de la función de error.)

Hay un método general para buscar la $a\rightarrow \pm\infty$ asymptotics de esta integral?

Tenga en cuenta que esta es la integral de una Gaussiana en la esfera en el sentido de que $$Z_1=\int_{\|\mathbf{x}\|=1} e^{-{\mathbf{x}\cdot \mathbf{M x} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{x}}} dS$$ donde la integración es sobre la unidad de la esfera de la superficie, $\mathbf{M}$ $3\times 3$ simétrica traceless de la matriz, y $\mathbf{v}$ es un vector paralelo a uno de los vectores propios. La integral en coordenadas esféricas $\mathbf{x}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ $dS = \sin\theta d\theta d\phi$ alineados con los vectores propios, se reduce a la integral dada en la pregunta como $Z_1=e^{-a/3} Z$, donde $a=\frac32\lambda_3$, $b=\frac12(\lambda_1-\lambda_2)$, $\mathbf{v}=c\, \mathbf{u}_3$, y $\lambda_{1,2,3}$ $\mathbf{u}_{1,2,3}$ son los tres valores propios y vectores propios normalizados de $\mathbf{M}$.

Answer 1

El siguiente es sólo el esbozo de una idea. Con un poco de suerte, alguien será capaz de completar (o demostrar que está equivocado, por supuesto!)

Diferenciar con respecto a $c$ obtener \begin{align} \frac{\partial Z}{\partial c} = & \int_0^\pi\int_0^{2\pi}\left(e^{a\cos^2\theta}\cos\theta\sin\theta\right)e^{b\sin^2\theta\cos2\phi+c\cos\theta}d\phi d\theta\\ = & \int_0^\pi\int_0^{2\pi}\left(-\frac{1}{2a}\frac{\partial e^{a\cos^2\theta}}{\partial\theta}\right)e^{b\sin^2\theta\cos2\phi+c\cos\theta}d\phi d\theta. \end{align} Integrando por partes, se obtiene \begin{align} \frac{\partial Z}{\partial c} = &\left[-\frac{1}{2a}\int_0^{2\pi}e^{a\cos^2\theta+b\sin^2\theta\cos2\phi+c\cos\theta}d\phi\right]_0^\pi\\ & +\frac{1}{2a}\int_0^\pi\int_0^{2\pi}e^{a\cos^2\theta+b\sin^2\theta\cos2\phi+c\cos\theta}\left(2b\sin\theta\cos\theta\cos2\phi - c\sin\theta\right)d\phi d\theta. \end{align} Ahora esperemos que el término en la segunda línea se pondrá a cero como $a\to\infty$, y el primer término puede ser evaluado usando funciones de Bessel y de la función de error.

Edit: Como lo dijo @cansado, el segundo término no se vaya a cero, ya que la exponencial es creciente demasiado rápido como $a\to\infty$. Voy a dejar esto aquí de todos modos, así que si alguien quiere probar algo que pasa de integración parcial como lo hice anteriormente no tendrán que hacer el cálculo de nuevo.