espacio de Banach reflexivo

Question

Que $X$ ser un espacio de Banach y $B_X$ la bola de la unidad.

Supongamos que cada $\lbrace Cn\rbrace{n=1}^\infty\subset B_X$ $C_n$ de satisfacción están cerradas convexas y $Cn\supset C{n+1}$ tiene una intersección no vacía.

¿Es cierto que $X$ es reflexiva?

Answer 1

Es cierto que esto es un teorema (1939) viejo debido a Smulyan en cualquier libro de teoría del espacio de Banach para la prueba

Answer 2

Vamos a admitir el siguiente resultado:

Un espacio de Banach $X$ es reflexiva si y sólo si para todos los $l:X\rightarrow \mathbb R$ lineal y continua podemos encontrar $x_0$ tal que $\lVert x_0\rVert =\lVert l\rVert = \sup_{x\neq 0}\frac{l(x)}{\lVert x\rVert}$.

Deje $l$ un mapa. Para todos los $n\in\mathbb{N}^*$, podemos encontrar $x_n$$\lVert x_n\rVert =1$$\langle l,x_n\rangle \geq \lVert l\rVert -\frac 1n$. Deje $C_n$ cerrado el casco convexo de un conjunto $\left\{x_k,k\geq n\right\}$. $\left\{C_n\right\}$ es una disminución de la secuencia de cerrado convexo no vacío subconjuntos de a $B_X$. Deje $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}^*}C_n$. Deje $\varepsilon>0$$k_0\in\mathbb N^*$. Podemos encontrar $N\in\mathbb N$ $k_1<\cdots<k_N$ enteros con $k_1\geq k_0$ $(\alpha_j)_{1\leq j\leq N}\in \left[0,1\right]$ tal que $\lVert x-x'\rVert <\varepsilon$$x'=\sum_{j=1}^N\alpha_jx_{k_j}$$\sum_{j=1}^N\alpha_j=1$. Desde cada una de las $k_j$ es mayor que $k_0$ hemos \begin{align*} \langle l,x\rangle& =\langle l,x-x'\rangle+\langle l,x'\rangle\\ &= \langle l,x-x'\rangle +\sum_{j=1}^N\alpha_j \langle l,x_{k_j}\rangle\\ &\geq -\varepsilon\lVert l\rVert+\sum_{j=1}^N\alpha_j\left(\lVert l\rVert -\frac 1{k_j}\right)\\ &=\lVert l\rVert (1-\varepsilon)-\sum_{j=1}^N\frac{\alpha_j}{k_j}\\ \langle l,x\rangle&\geq \lVert l\rVert (1-\varepsilon)-\frac 1{k_0}. \end{align*} Desde la última desigualdad se cumple para todos los $\varepsilon >0$ $k_0>0$ tenemos que $\lVert l\rVert\lVert x\rVert \leq \langle l,x\rangle$ y es una igualdad que nos damos cuenta de que $x\neq 0$, exect en el caso en que $l=0$).

Answer 3

Tal $C_n$ existen en cualquier espacio de Banach. Tome por ejemplo $C_n$ a la bola cerrada de radio $1-1/n$ centrado en el origen.