¿Se puede dividir una función continua en la suma de una función continua y una función discontinua?

Question

Supongamos que $a$ y $b$ son funciones de $x$. Cuando $$ \lim_{x \to +\infty} a = c\quad\text{y}\quad \lim_{x \to +\infty} b\text{ no existe}.$$

¿Está garantizado que $$ \lim_{x \to +\infty} a + b\text{ no existe}$$

---

Versión en secuencias

Answer 1

Sí. Si el límite de $a+b$ existiera, seguiría que

$$\lim_{x \to +\infty}b=\lim_{x \to +\infty} [(a + b) - a]=\lim_{x \to +\infty}(a+b)-\lim_{x \to +\infty}a\;.$$

Answer 2

CONSEJO $\ $ Esto se sigue inmediatamente del hecho de que las funciones cuyo límite existe en $\rm\:\infty\:$ están cerradas bajo la resta, es decir, forman un subgrupo aditivo de todas las funciones. Por lo tanto, en términos abstractos, esto es esencialmente lo mismo que la demostración de que la suma de un entero y un no entero es un no entero. Para más discusión de esta vista complementaria de un subgrupo, ver esta publicación.

Answer 3

Supongamos, para llegar a una contradicción, que nuestro límite existe. Es decir, supongamos que $$\lim_{x\rightarrow \infty} a(x)+b(x)=d$$ existe. Entonces, dado que $$\lim_{x\rightarrow \infty} -a(x)=-c,$$ y como los límites son aditivos, concluimos que $$\lim_{x\rightarrow \infty} a(x)+b(x)-a(x)=d-c$$ lo que significa $$\lim_{x\rightarrow \infty} b(x)=d-c.$$ Pero esto es imposible ya que teníamos que $b(x)$ no tendía a un límite.

Espero que eso ayude,

Answer 4

Simplemente para completar la respuesta de joriki:

Su respuesta es correcta solo si $c$ es un número, lo cual parece ser el caso por la forma en que escribiste la pregunta.

De todas formas, si también estás tratando con límites infinitos, es posible que $\lim_{x \to \infty} b$ no exista y $\lim_{x \to \infty} a+b$ exista.

Solo toma $a=x-\sin(x)$ y $b=\sin(x).