$\displaystyle A =\int \frac{x \, dx}{e^x +1 }$

Question

<blockquote> <p>Encontrar $\displaystyle A =\int \frac{x \, dx}{e^x +1 }$</p> </blockquote> <p>Uso de Wolfram Alpha esto cede $-\operatorname{Li}_2(-e^x) + \frac{x^2}{2}-x \ln(e^x +1)$, $\operatorname{Li}$ Dónde está la función polylogaritm. Soy muy muy nuevo en polylogarithms pero quería saber cómo WA llegó a este resultado y si es posible si hay libros que me podrían ayudar a comprender el uso de estas funciones especiales en la integración.</p>

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \int\,\frac{x\,\exp(x)}{\exp(x)+1}\,\text{d}x&=\int\,x\,\text{d}\ln\big(\exp(x)+1\big)\&=x\,\ln\big(\exp(x)+1\big)-\int\,\ln\big(\exp(x)+1\big)\,\text{d}x\,. \end{alinee el} $$ entonces, tenemos que $$\int\,\ln\big(\exp(x)+1\big)\,\text{d}x=\int\,\frac{\ln\Big(1-\big(-\exp(x)\big)}{\big(-\exp(x)\big)}\,\text{d}\big(-\exp(x)\big)=-\text{Li}_2\big(-\exp(x)\big)+C\,,$ $ $C$ Dónde está una constante (como $\text{Li}_2(z)=-\int0^z\,\frac{\ln(1-t)}{t}\,\text{d}t$, según este). Por lo tanto, $$ \begin{align}\int\,\frac{x}{\exp(x)+1}\,\text{d}x &=\int\,\left(x-\frac{x\,\exp(x)}{\exp(x)+1}\right)\,\text{d}x \&=\frac{1}{2}x^2-x\,\ln\big(\exp(x)+1\big)-\text{Li}{2}\big(-\exp(x)\big)+C\,.\end{alinee el} $$

Usted puede probar $\text{Li}_2(z)=-\int_0^z\,\frac{\ln(1-t)}{t}\,\text{d}t$ directamente a través de $$ \begin{align}\text{Li}2(z)&=\sum{k=1}^\infty\,\frac{z^k}{k^2}=\sum_{k=1}^\infty\,\int_0^z\frac{t^{k-1}}{k}\,\text{d}t=\int0^z\,\frac{1}{t}\,\sum{k=1}^\infty\,\frac{t^k}{k}\,\text{d}t \ &=\int_0^z\,\frac{-\ln(1-t)}{t}\,\text{d}t\,, \end{Alinee el} $$ todos $z\in\mathbb{C}$ $|z|

Answer 2

Desde $\int xe^{-nx}\,\mathrm{d}x=-\frac1{n^2}(nx+1)e^{-nx}+C$, $$\begin{align} \int \frac{x\,\mathrm{d}x}{e^x+1} &=\int x\left(e^{-x}-e^{-2x}+e^{-3x}+\dots\right)\mathrm{d}x\tag{1}\ &=C-(x+1)e^{-x}+\tfrac14(2x+1)e^{-2x}-\tfrac19(3x+1)e^{-3x}+\dots\tag{2}\ &=C-x\left(e^{-x}-\tfrac12e^{-2x}+\tfrac13e^{-3x}-\dots\right)+\left(-e^{-x}+\tfrac14e^{-2x}-\tfrac19e^{-3x}+\dots\right)\tag{3}\ &=C-x\log\left(1+e^{-x}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-e^{-x}\right)\tag{4}\ &=C+x^2-x\log\left(e^x+1\right)-\tfrac{\pi^2}6-\mathrm{Li}_2!\left(-e^x\right)-\tfrac12x^2\tag{5}\ &=C_2+\tfrac12x^2-x\log\left(e^x+1\right)-\mathrm{Li}_2!\left(-e^x\right)\tag{6} \end {alinee el} $$ explicación:
$(1)$: escriba $\frac1{e^x+1}$ como una serie geométrica
$(2)$: usar la fórmula de arriba
$(3)$: separan términos
$(4)$: use la serie $\log(1+x)$ y $\mathrm{Li}_2(x)$
$(5)$: utilizar el % de $(5)$de esta respuesta
$(6)$: recoger términos