El estándar de prueba de la desigualdad de Minkowski en $L^p$ espacio utilizando Hölder la desigualdad parece ser bastante desmotivado (ver aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski%27s_inequality). Romper ese factor en dos partes, y la aplicación de Hölder para cada uno de ellos por separado no hace geométrica intuitiva sentido para mí. Más bien, parece que en la siguiente prueba (que se me ocurrió, a pesar de que es muy probable no es, de hecho la mía), aparece mucho más motivados:
Tenemos que mostrar que $(\int_{X} |f+g|^p d\mu)^{\frac{1}{p}} \le (\int_{X} |f|^p d\mu)^{\frac{1}{p}} d\mu +(\int_{X} |g|^p)^{\frac{1}{p}} d\mu)$.
Deje $A=(\int_{X} |f|^p d\mu)^{\frac{1}{p}}$, e $B=(\int_{X} |g|^p)^{\frac{1}{p}} d\mu$.
A continuación, ajuste de $f_1=\frac{f}{A}$, e $g_1=\frac{g}{B}$, obtenemos el equivalente de las desigualdades
$\int_{X} (Af_1+Bg_1)^p d\mu \le (A+B)^p$
$\int_{X} (\frac{Af_1+Bg_1}{A+B})^p d\mu \le 1$
$\int_{X} (\frac{Af_1+Bg_1}{A+B})^p d\mu \le \int_{X} \frac{A|f_1|^p+B|g_1|^p}{A+B} d\mu$
Que sigue inmediatamente de la convexidad de $x^p$.
Ahora, hay un par de razones por las que me parece más atractivo. En primer lugar, cada uno de los pasos es la motivación. El primer paso es un intento de homogeneización, a continuación, después de escribirlo en el formulario con el R. H. S.=1, se hace muy evidente cómo terminar con la convexidad de $x^p$.
En segundo lugar, una línea similar de razonamiento se utiliza para probar Hölder la desigualdad, y se utiliza en la siguiente bastante elegante a prueba de Cauchy-Schwarz para secuencias finitas:
Para demostrar $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \ge (\sum a_ib_i)^2$, lo primero que homogeneizar mediante el establecimiento $\sum a_i^2=\sum b_i^2=1$. Luego, después de la plaza de enraizamiento, vemos que es equivalente a la desigualdad de $\frac{\sum a_i^2 + \sum b_i^2}{2} \ge \sum a_ib_i$, lo cual es un resultado directo de la AM-GM. Tenga en cuenta que el uso de la homogeneización que se utiliza específicamente para que podamos reemplazar la L. H. S. con algo mucho más fuerte, manteniendo el R. H. S. de la misma, casi como por arte de magia (que básicamente era lo que mi prueba ascendió a).
Tercero, la igualdad caso casi se convierte en trivial ver, ya que sólo uno de la desigualdad fue aplicado en todo el proceso, y que estaba en el final de la prueba. Además, es muy fácil ver geométricamente la idea de que la convexidad se utiliza aquí, por lo que la igualdad caso también parece natural.
Mi primera pregunta es, si hay méritos para el estándar de prueba que implican Titular de la desigualdad, que me parece que falta que hacer más general, o sea de más interés que la prueba de que he presentado.
Mi segunda pregunta es si la resumirse de la prueba que implican dual espacios presentados en la misma página de la Wikipedia es en realidad más general que la de mi prueba. Es decir, si hay espacios a los que simplemente no podemos apelar a una convexidad argumento, y en lugar de tener que recurrir a la supremum prueba. O si mi prueba de alguna manera puede ser modificado para probar el resultado en una clase más general de los espacios que comprende a todos aquellos que el supremum argumento funciona para.
Saludos,
Rofler
