Buscar $x$ dado $\sqrt{x+14-8\sqrt{x-2}}$ + $\sqrt{x+23-10\sqrt{x-2}} = 3$

Question

Si $\sqrt{x+14-8\sqrt{x-2}}$ + $\sqrt{x+23-10\sqrt{x-2}} = 3$, entonces ¿cuál es el valor de $x$?

¿Hay una manera fácil de resolver dicha ecuación, en lugar de escuadrado por ambos lados y reemplazar $\sqrt{x-2}$ con una variable diferente?

Answer 1

No es tan malo; después sustituye $y=\sqrt{x-2}$ tienes $$\sqrt{y^2 - 8y + 16 } + \sqrt{y^2 - 10y+ 25 } = 3$ $ y deben ser capaces de tomar de aquí sin ninguna cuadratura de ambos lados.

Answer 2

Condición: $x\geq 2$.

Tienes %#% $ #%

Así que, si $$LHS = \sqrt{(\sqrt{x-2}-4)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-5)^2}.$, o $\sqrt{x-2}

Si $$LHS = 4-\sqrt{x-2} + 5-\sqrt{x-2} = 9-2\sqrt{x-2} = 3 = RHS.$, o $4 \leq \sqrt{x-2}

Si $$LHS = \sqrt{x-2} -4 + 5-\sqrt{x-2} = 1 \neq 3 = RHS.$, o $\sqrt{x-2} \geq 5$ y $x \geq 27$ $

Answer 3

$$\sqrt{x+14-8\sqrt{x-2}} +\sqrt{x+23-10\sqrt{x-2}} = 3$ $ $$\sqrt{(\sqrt{x-2}-4})^2+\sqrt{(\sqrt{x-2}-5)^2}=3$ $ Entonces $ de $$|\sqrt{x-2}-4|+|\sqrt{x-2}-5|=3$ $\sqrt{x-2}\ge5 (x\ge27)$. Entonces

$$\sqrt{x-2}-4+\sqrt{x-2}-5=3$$ $$\sqrt{x-2}=6$$

Que $\sqrt{x-2}\le4 (2\le x\le18)$. Entonces

$$4-\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}+5=3$$ $$\sqrt{x-2}=3$$