Tengo que dar una presentación sobre las curvas elípticas en general. No debe ser muy en profundidad. Tengo un conocimiento muy básico de curvas elípticas (la mayoría entiendo es el concepto de filas). Me preguntaba si alguien podría explicarme simplemente cuál es la conexión entre la ecuación $x^n +y^n=z^n$y curvas elípticas.
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YequalsX
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Dada la no-cero enteros $A,$ $B$, y $C$, de tal manera que $A + B = C$, podemos formar la llamado curva de Frey (nombrado después de que el matemático Frey, el primero que considera curvas elípticas en el contexto de la FLT)
$$E: y^2 = x(x-A)(x+B),$$
que tiene discriminante (hasta cierto poder de $2$ que uno puede calcular con precisión, pero que voy a omitir aquí) igual a $ABC$.
Supongamos ahora que $A = a^p$, $B = b^p$, y $C = c^p$ (de modo que tenemos una solución para la ecuación de Fermat de exponente $p$). A continuación, la curva elíptica $E$ ha un discriminante que (el poder de $2$ que estoy ignorando) es una perfecta $p$th poder.
Esto significa que el grupo de $p$-torsión puntos de $E[p]$ $E$ (que es una de dos dimensiones de espacio vectorial sobre el campo $\mathbb F_p$ $p$- elementos, equipado con una acción del grupo de Galois de $\overline{\mathbb Q}$$\mathbb Q$) tiene propiedades muy especiales --- en la teoría algebraica de números, está muy cerca de ser unramified. (Más en concreto, sino más técnicamente, es unramified excepto posiblemente en a $2$ $p$ y a las$p$, la ramificación es muy leve --- es finito plana.)
Ahora el Shimura--conjetura de Taniyama, que es lo que Wiles (junto con Taylor) demostrado, muestra que $E$, y por lo $E[p]$, surge a partir de un peso de dos de forma modular. Ribet los resultados anteriores en Serre la epsilon conjetura implica que este modular formulario en realidad debe de ser de nivel de $2$. (Aquí es donde usamos la información anterior acerca de la ramificación.) Pero no hay no-cero cuspforms de peso $2$ y el nivel de $2$, y llegamos a una contradicción.
Aunque es mucho más difícil (en que la única manera de saber que para descartar la existencia de $E[p]$ es por el --- muy difícil --- Shimura--Taniyama conjetura, o bien mediante relacionados con los resultados más recientes, tales como Khare y Wintenberger del trabajo en Serre de la conjetura), uno puede pensar en la no existencia de $E[p]$ como análogo a la de Minkowski del teorema en la teoría algebraica de números, que dice que en todas partes-unramified extensión de $\mathbb Q$ no puede existir.
rmmh
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Sin duda hay gente en este sitio, que son mucho más capaces que yo soy de explicar la conexión de la competencia, así que me quedo para proporcionar una referencia. El último capítulo de Diamante-Shurman de Un Primer Curso en las Formas Modulares ofrece una visión general de cómo sigue la historia, en el nivel de posgrado a nivel de libro de texto (por supuesto, dado el ámbito de aplicación del resultado, se tiene que la caja negra de muchas, muchas cosas). Ellos explican cómo construir la curva de Frey, que es una curva elíptica asociado a una hipotética solución a la ecuación de Fermat, y muestran cómo la teoría de las formas modulares (en particular el de Taylor-Wiles resultado de que todas las curvas elípticas son modulares en el sentido de que tienen un "asociado" de forma modular) permite mostrar que no hay tal Frey curvas pueden existir (muy brevemente, si una curva de Frey existido, asociado de forma modular tendría que vivir en un espacio particular de las formas que uno puede mostrar directamente a estar vacío).
