Encontrar todas las soluciones enteras de $15x + 12y + 30z = 24$

Question

Este problema es de Burton pg. 44. La pista que se da es la siguiente:

Poner $y = 3s-5t$ y $z = -s + 2t$

Primera pregunta

¿Por qué funciona esta pista? ¿Cómo ha surgido? No parece provenir del algoritmo euclidiano ni de $\gcd (12, 30)$ .

Segunda pregunta

Aun así, ¿cómo se procede? Utilizar la sustitución dada no parece dar soluciones enteras, al menos según lo que yo he hecho (que probablemente, con toda seguridad, no es el enfoque correcto). He pasado de $3x + 2s - 8t = 8$ para intentar sustituir algo por $x,s$ lo que llevó a $x = 1 +2f \: \:, \: y= -1 + 3f \: \:$ ( $f$ es un número entero cualquiera). Pero esto lleva a $t$ que tiene un valor fraccionario.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La pista reduce la ecuación a $$ 5x+2s=8 $$ que se puede resolver mediante el algoritmo euclidiano, o notar que $x=0$ y $s=4$ es una solución particular. Entonces obtenemos que $x=2u$ y $s=4-5u$ es la solución general.

Hay otras reducciones. Creo que la siguiente es igual de sencilla y quizá un poco más intuitiva.

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Factorización $3$ fuera de la ecuación da $$ 5x+4y+10z=8 $$ Si ponemos $w=x+2z$ lo único que tenemos que resolver es $$ 5w+4y=8 $$ Una solución es $w=0$ y $y=2$ lo que significa que la solución general es $$ w=4t\qquad\text{and}\qquad y=2-5t $$ Por lo tanto, obtenemos que la solución general de la ecuación original es $$ x=4t-2z\qquad\text{and}\qquad y=2-5t $$

Answer 2

Partimos de $5x+4y+10z=8$ . Siguiendo la pista dada, dejamos que $y = 3s-5t$ y $z = -s + 2t$ . Por lo tanto, obtenemos $$5x+4(3s-5t)+10( -s + 2t)=8,\quad \mbox{or}\quad 5x+2s=8$$ cuyas soluciones son $x=2-2k$ , $s=-1+5k$ con $k\in\mathbb{Z}$ . Por último, utilizamos $t=y+3z$ y $s=2t-z=2y+5z$ y obtenemos $$y=-3+15k-5t,\quad z=1-5k+2t.$$ Por lo tanto, las soluciones son: $$x=2-2k,\quad y=-3+15k-5t,\quad z=1-5k+2t\quad \mbox{for $ k,t\nmathbb{Z} $}.$$

Answer 3

Pregunta 1 : Como se indica en los comentarios, la sustitución elimina una variable. La elección de los coeficientes para s en la sustitución (3, -1) satisface $4(3)+10(-1)=2=\gcd(4,10)$ y hace que los números sean pequeños para manejarlos mentalmente.

Pregunta 2 : $5x+2s=8$ tiene solución $x=2, s=-1$ y todas las soluciones de esta ecuación reducida (por la identidad de Bézout) son $x=2+2k, s=-1-5k, k\in\mathbb{Z}$ . t es una variable libre debido a la eliminación, y la solución puede escribirse como $$x=2+2k, y=-(3+15k+5t), z=1+5k+2t$$ donde $k,t\in\mathbb{Z}$ .

Answer 4

La pista me parece arbitraria. No es así como yo atacaría este problema.

Después de $$ 5x + 4y + 10z = 8$$ Aprovecharía las ventajas de " $5$ " y " $10$ " así: reduciendo el módulo $5$ debe ser cierto que $ 4y \equiv 8 \mod 5$ ou $ y \equiv 2 \mod 5$ . Escriba $y = 2 + 5k$ , sustituir en la ecuación original, dividir por $5$ y eso te da $x$ en términos de $k$ y $z$ . Entonces $k$ y $z$ son parámetros libres (pueden ser cualquier número entero), y tienes $x$ y $y$ expresado en términos de estos parámetros (y $z$ por supuesto, es ella misma).

Answer 5

Dejemos que $ux+vy+wz=c$ con $u,v,w,c\in \mathbb{Z}$ una ecuación general de este tipo, a resolver en números enteros. Supongamos que $uvw\not =0$ para simplificar.

1) Poner $v=dv_1$ , $w=dw_1$ con $v_1$ y $w_1$ coprime.

2) Buscar $v_2,w_2\in \mathbb{Z}$ tal que $w_2v_1-v_2w_1=1$ (existen por Bezout).

3) Poner $u_1y+w_1z=s$ , $v_2y+w_2z=t$ . Entonces podemos resolver este sistema, obteniendo $y=a_1s+b_1t$ , $z=a_2s+b_2t$ con $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ . Para todos los $s,t\in \mathbb{Z}$ tenemos $y,z\in \mathbb{Z}$ .

4) Reemplazar: por supuesto, obtenemos que $ux+ds=c$ y es fácil de terminar (y de ver si existen esas soluciones).