Fila en forma de escalón de fila

Question

$$A =\begin{bmatrix} a & 1 & a & 0 & 0 & 0 \ 0 & b & 1 & b & 0 & 0 \ 0 & 0 & c & 1 & c & 0 \ 0 & 0 & 0 & d & 1 & d \ \end{bmatrix} $$

Que $A$ la matriz anterior y $r$ el número de filas cero en forma de nivel de fila. Muestran que

$$r>2 \quad\text{always}$$ $$r=3 \quad\text{iff }a=d=0 \text{ and } bc = 1$$ $$r=4 \quad\text{otherwise}$$

Hay una manera de probar esta pregunta sin listado todas las combinaciones posibles de a, b, c, d que es cero o distinto de cero. ¿Alguien puede explicarme por favor?

Answer 1

podemos mostrar que $rank(A) > 2$ dejando por fuera la primera columna. segunda fila es sustituida por la segunda fila menos $b$ los tiempos de la primera fila. tenemos dos casos: $ab = 1$ $ab \neq 1.$ tomemos el caso más fácil $ab \neq 1.$ ahora usted tiene pivotes $1, 1-ab, 1$ de filas $1, 2, $ $3.$ $rank(A) \ge 3$

el segundo caso $ab = 1,$ ahora tenemos pivotes $1$ de filas $1$ $3.$ deshacerse od $d$ en la última fila lleva a considerar dos casos $cd = 1$ que hace un pivote $d$ en la última fila y $cd \neq $ amke un pivote $1-cd$ en la última fila. así que en ambos casos nos encontramos con rango 3.

Answer 2

Estás dada la matriz escalonada!

$$A= \begin{pmatrix} a & 1 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 1 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 1 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & 1 & d \\ \end{pmatrix} $$

Ahora, no hay manera de que la fila 1 y la fila $\;2\;$ son linealmente dependientes , ya que tendría que ser que

$$(0\;b\;1\;b\;0\;0)=k\cdot(a\;1\;a\;0\;0\;0)\;,\;\;k\in\Bbb F=\text{ some field}$$

y esto es imposible (por qué?), ya lo $\;r\ge 2\;$ . Ahora, si la fila $\;3\;$ es lin. dependiente en las dos primeras (como es fácil de ver es que no depende solamente en la segunda, al igual que antes), entonces debe ser $\;a=0\;$, y, a continuación, en el tercer y cuarto coordenadas obtenemos de nuevo una imposibilidad, y por lo tanto ya tenemos $\;r\ge 3\;$ .

Ahora, si $\;r=3\;$, la cuarta fila debe ser un lin. combinación de los tres primeros, por lo que

$$(0\;0\;0\;d\;1\;d)=\alpha(a\;1\;a\;0\;0\;0)+\beta(0\;b\;1\;b\;0\;0)+\gamma(0\;0\;c\;1\;c\;0)\implies$$

$$\begin{cases}&I\;\;&\alpha a=0\\{}\\ &II\;\;&\alpha+\beta b=0\\{}\\ &III\;\;&\alpha a+\beta+\gamma c=0\\{}\\ &IV\;\;&\beta b+\gamma=d\\{}\\ &V\;\;&\gamma c=1\\{}\\ &VI\;\;&d=0\end{casos}$$

Ahora, si $\;a\neq 0\;$$\;I\implies\alpha=0\;$, pero, a continuación, $\;II\implies\beta b=0\;$ y, a continuación,$\;IV\implies \gamma=d=0\;$ , y esto contradice $\;V\;$ .

Por lo tanto, debe ser, también,$\;a=0\;$ . Tome ahora desde aquí

Answer 3

Después de dos bien elegido fila operaciones que se pueden obtener $$ \left( \begin {array}{cccccc} a&1&a&0&0&0\\ -ab&0&1- ab&b&0&0\\ 0&0&c&1-cd&0&-cd\\ 0 &0&0&d&1&d\end {array} \right) $$ Ya que no podemos tener tanto en $-ab$ $1-ab$ cero, el rango es de al menos 3. El rango puede ser sólo 3 si el número de filas 2 y 3 se pueden combinar para hacer una fila de ceros.

Ahora usted puede suponer $b=0$ y obtener una contradicción en una fila todos los ceros y, a continuación, supongamos $b \not=0$ y obtiene las siguientes ecuaciones si la clasificación es a las 3: $$ (1 cd)=0 ~,~~ -cd=0 ~,~~ bc- (1-ab)(1 cd) = 0 $$ Cuidadosamente la solución de estos da las condiciones especificadas como la única solución.