Así que me hicieron esta pregunta
Elige un número cualquiera de 3 dígitos xyz y escríbelo después de sí mismo de la siguiente manera xyzxyz. Comprueba si es divisible por 7, 11, 13. ¿Es un número arbitrario de la forma xyzxyz divisible por 7, 11, 13?
Estoy completamente perdido con esta pregunta. He visto la divisibilidad de los números primos y cómo trabajar con ella, pero no sé cómo aplicarla a este problema
Así que el número de 6 dígitos = xyzxyz = xyz * 1001 = xyz * 7 * 11* 13 como 7*11*13 = 1001 otros factores son 7 * 11 = 77, 11*13 = 143 , 7 * 13= 91 y factores de xyz. ¿Sería esto correcto?
Exactamente. Además, los productos de los factores de $xyz$ y 7,11,13 respectivamente son los factores restantes.
Este es un enfoque más ingenuo. Sólo hay que utilizar el habitual criterios .
Divisibilidad por 7: $$z+3y+2x+6z+4y+5x=7z+7y+7x=7 (x+y+z), $$ así que $xyzxyz $ es un múltiplo de $7$ .
Divisibilidad por $11$ : $$z-y+x-z+y-x=0, $$ así que $xyzxyz $ es un múltiplo de $11$ .
Divisibilidad por $13$ : $$z-3y-4x-z+3y+4x=0, $$ así que $xyzxyz $ es un múltiplo de $13$ .
Vaya. Nunca habría considerado hacerlo de esta manera. Aunque esta manera no es lo suficientemente práctico todavía upvote sólo para su enfoque
Si vas por ese camino, la regla de los "bloques de 3" para el 7 y el 13 es aún más fácil. xyz-xyz=0
Buen punto. Hacía muchos años que no pensaba en estas reglas, así que sólo recordaba las más básicas (es decir, sustituir cada potencia de 10 por su resto).
Las respuestas existentes son correctas. Esto es un intento de añadir una forma de encontrar la respuesta que podría ayudar con otros problemas.
Lo primero que me pregunté fue "¿Qué propiedades relacionadas con la divisibilidad tienen los números de la forma xyzxyz tienen en común?". La respuesta obvia es la divisibilidad por 1001.
Luego miré el 7, el 11 y el 13.
Porque $$7\cdot1\cdot3$$ es 21, su producto debe terminar en "1".
El producto de tres números, uno ligeramente menor que 10 y los otros dos ligeramente mayores que 10 está en la vecindad general de 1000.
Eso llevó a la conjetura fácilmente comprobable de que su producto es el 1001.
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Hay criterios simples de divisibilidad de números enteros por 2,3 y 5. El hecho en OP se puede utilizar para comprobar la divisibilidad por los siguientes números primos $7,11$ y $13$ (en representación de base decimal de los números), (véase el libro de teoría de números de Hardy). Hay un video incompleto en YouTube sobre cómo dividir por $19$ ...