Cuando tal expresión se produce, $f(x)$, de hecho, puede ser expresado como la composición de una función de $h$ y la función de $g$ :
$$f(x)=h(g(x))$$
En ese caso, lo que se escribe $\dfrac{d}{dg(x)}f(x)$ podría más bien ser escrito $\dfrac{d}{dy}h(y)\vert_{y=g(x)}$.
La variable que aparece en la $\dfrac{d}{dy}$ debe ser una variable independiente, con el fin de asegurar la definición en términos de límites : aquí tenéis $\lim\limits_{y\rightarrow g(x_0)}$.
Por esta razón, no creo que uno podría dar un razonable sentido a tu ejemplo con $r(t)$, ya que el $r(t)$ no es una función de $r'(t)$. De hecho, si $r(t)$ es lineal en $t$, $r'(t)$ es una constante, por lo $r(t)$ no puede ser escrita en la forma $h(r'(t))$.
Por otro lado, $g(x)$ no tiene que ser un 1-1 mapa.
La principal ventaja de este formalismo es expresar muy bien la regla para derivating una composición de la función. En física, tiende a dar un nombre para el valor de una función en un punto dado, en lugar de a la misma función. Por ejemplo, el uso de sus funciones $f$$g$, uno podría escribir :
$$y=g(x)$$
$$z=f(g(x))$$
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\times\frac{dy}{dx}$$
En matemáticas libros, rara vez se ve que tales anotaciones. Es más habitual para escribir :
$$(f\circ g)'=(f'\circ g)\times g'$$
El principal problema con la antigua notación es que, si $z$ es una función de dos variables$y$$u$, la derivación de la regla anterior es malo ! Esta es probablemente la razón por el símbolo $\partial$ se utiliza con funciones de varias variables y derivadas parciales en lugar de $d$. Uno debería escribir, por ejemplo :
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}\times\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial u}\times\frac{\partial u}{\partial x}$$
