Mostrar que f,g son invertible si $A$ es un conjunto finito y $f,g: A\to A$ tal que $f\circ g$ es invertible

Question

Deje $A$ ser un conjunto finito y $f,g: A\to A$ tal que $f\circ g$ es invertible.

1. Probar que f,g son invertible.

2. Probar que si $A$ es un conjunto infinito, no significa que f,g son invertible.

Entiendo que desde $f\circ g$ es un bijection, a continuación, $g$ es una inyección, $f$ es un surjection. Lo que queda es demostrar que el $f$ es una inyección, $g$ es un surjection.

Ahora yo no sé qué con el hecho de que $A$ es un conjunto finito...

Answer 1

Sugerencia: una función de $A \to A$ a partir de un conjunto finito $A$ a sí mismo es inyectiva si y sólo si es surjective.

2., tratemos de $A = \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Desea $f$ a ser surjective pero no inyectiva. Un ejemplo podría ser $f: x \mapsto \lfloor x/2 \rfloor$. Ahora $g: x \mapsto 2x$ es inyectiva pero no surjective... ¿Qué es $f \circ g$?