Colorear un cubo con restricciones

Question

¿De cuántas formas se pueden colorear los triángulos de un cubo de chapa con blanco y negro?

Un cubo de lazo tiene 32 triángulos, así que asumo que $2^{32}$ pero eso es demasiado simple, basado en los movimientos de simetría de un cubo de chorro, que sé permutar las diagonales de un cubo.

Cuántas formas hay de colorear las caras triangulares del cubo de la nariz con blanco y negro utilizando 16 caras negras y 16 caras blancas.

Dado que hay 32 triángulos, algunas de las rotaciones darán una coloración similar. Pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Será necesario utilizar la enumeración de Pólya, también conocida como lema de Burnside. Para ello, tenemos que encontrar el índice de ciclo del grupo de rotaciones del cubo de la chafa. Observa que este grupo es el mismo que el grupo octaédrico, de orden $24$ .

• La identidad, que mapea todos los $6(4)+8 = 32$ triángulos a sí mismos: $a_1^{32}$ .
• Seis rotaciones por $\pi/2$ alrededor de un eje que pasa por los centros opuestos cuadrado caras. Porque estamos estudiando cómo afecta dicha rotación a la triángulos En el caso de los triángulos, es evidente que no hay ningún triángulo que permanezca fijo (a diferencia de las caras del cuadrado, en las que dos se mapean a sí mismas). Cada cara triangular tiene un orden $4$ (exactamente cuatro de estas rotaciones devolverán cada triángulo a sí mismo), por lo que la contribución al índice del ciclo es $6a_4^{8}$ es decir, hay $8$ cuatro ciclos.
• Tres rotaciones por $\pi$ alrededor de un eje que pasa por los centros de las caras cuadradas opuestas. Estos crean $16$ dos ciclos, por lo que la contribución es $3a_2^{16}$ .
• Ocho rotaciones por $2\pi/3$ alrededor de un eje que pasa por los centros opuestos no nub caras triangulares (es decir, a través de triángulos no coincidentes con una cara cuadrada). Esta rotación fijará los dos triángulos en el eje de rotación, y todos los demás pertenecerán a triángulos; por lo tanto, la contribución es $8a_1^2 a_3^{10}$ .
• Seis rotaciones por $\pi$ a través de los puntos medios opuestos de la arista que une dos triángulos oblicuos. Aquí no hay triángulos fijos, y cada triángulo pertenece a uno de $16$ dos ciclos, y la contribución al índice del ciclo es $6a_2^{16}$ .

Por lo tanto, el índice de ciclo total es $$|Z(a_1, a_2, a_3, a_4)| = \frac{1}{24} \left(a_1^{32} + 6a_4^8 + 3a_2^{16} + 8a_1^2 a_3^{10} + 6a_2^{16}\right).$$

Por lo tanto, con $m$ colores, hay $$|Z(m,m,m,m)| = \frac{1}{24}(m^{32} + 9m^{16} + 8m^{12} + 6m^8)$$ colores. Para $m = 2$ Esto da como resultado $2^6 \cdot 3 \cdot 932203 = 178982976$ colores.