¿Existe una función integrable de Riemann no continua con una antiderivada?

Question

¿Existe una función $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ (de verdad $a<b$ ) que es integrable de Riemann y tiene una antiderivada en $[a,b]$ ¿pero no es continuo?

Answer 1

Considera:

$$f(x) = \begin{cases} 2x \sin \left( \frac1{x} \right) - \cos \left( \frac1{x} \right), x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{cases}$$

$f$ es integrable de Riemann en $[-1,1]$ (por el teorema de Lebesgue para las integrales de Riemann, por ejemplo), y tiene la antiderivada:

$$F(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac1{x} \right), x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}$$

Answer 2

Supongamos que tenemos una función $g(x)$ es continua y Riemann integrable con una antiderivada. Definamos otra función nueva $$f(x)= \begin{cases} g(x), x \neq c \\ \neq g(c), x = c \end{cases}$$

La nueva función $f(x)$ no es continua pero es integrable de Riemann y tiene la misma antiderivada que $g(x)$ .