Hay varias preguntas sobre las transformaciones lineales y sus respectivas matrices en alguna base, pero estoy particularmente interesado en la definición explícita de esta relación en la categoría $Vect$ (de espacios vectoriales y transformaciones lineales.) Por supuesto, una pregunta inevitable es si siempre hay una representación matricial (o tensorial, quizás) (¿Funtor representable?) para cada morfismo en una categoría arbitraria. Perdón si es una pregunta tonta, pero estoy aprendiendo TC por mi cuenta y me resulta difícil entender esta relación en términos categóricos.
Respuestas
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Dejemos que $\Bbbk$ sea un campo y $\mathsf{Vec}_f$ la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre $\Bbbk$ . Dejemos también $\mathsf{Mat}$ sea la categoría cuyos objetos son los números naturales $n \ge 0$ , morfismo $n \to m$ son matrices $m \times n$ con entradas en $\Bbbk$ y la composición es la multiplicación matricial.
Existe un functor $F : \mathsf{Mat} \to \mathsf{Vec}_f$ dado por $F(n) = \Bbbk^n$ y $F(M)$ es el mapa lineal representado por $M$ en las bases estándar de $\Bbbk^m$ y $\Bbbk^n$ .
Entonces este functor es completo y fiel: el mapa inducido $F : \hom_\mathsf{Mat}(m,n) \to \hom_{\mathsf{Vec}_f}(\Bbbk^m, \Bbbk^n)$ es una biyección (esto es un hecho estándar del álgebra lineal). También es esencialmente suryectiva: todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a $\Bbbk^n$ para algunos $n$ . Por lo tanto, es un equivalencia de categorías .
Esto es muy parecido a la respuesta de Henning Makholm, pero la suya está mezclando dos cuestiones: la existencia de la equivalencia de categorías $F$ y la existencia de un pseudoinverso a una equivalencia de categorías utilizando algún tipo de elección.
sewo
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Dejemos que $F$ sea un campo.
La categoría $\mathbf{Vect}_F$ de espacios vectoriales sobre $F$ con transformaciones lineales tiene una subcategoría $\mathbf{FVect}_F$ de finito-dimensionales espacios vectoriales con transformación lineal.
También hay una categoría (pequeña) $\mathbf{Mat}_F$ cuyos objetos son los números naturales y los morfismos son matrices con entradas en $F$ . La composición es la multiplicación de matrices.
Ahora, cada elección de una base ordenada para cada espacio vectorial en $\mathbf{FVect}_F$ (o una subcategoría completa de la misma) da lugar a una functor completo y fiel $\mathbf{FVect}_F\to\mathbf{Mat}_F$ que representa cada transtormación lineal por su matriz.
En particular, el hecho de que el functor sea completo y fiel significa que si $V$ y $W$ son espacios vectoriales de dimensión $m$ y $n$ entonces $\operatorname{Hom}_{\mathbf{FVect}}(V,W)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Mat}}(m,n)$ que dice que a cada transformación lineal le corresponde exactamente una matriz y viceversa.
Este es, de hecho, un ejemplo concreto bastante bueno para tener en cuenta cómo se comporta un "functor completo y fiel".
Alternativamente - especialmente si tenemos objeciones fundacionales sobre la idea de elegir una base particular para cada uno de los objetos de clase propia-muchos de $\mathbf{FVect}_F$ -- podríamos definir una nueva cateoría $\mathbf{FVectB}_F$ en el que un objeto es un espacio vectorial finito junto con una base ordenada para ello. Entonces hay una solo functor canónico completo y fiel $\mathbf{FVectB}_F\to\mathbf{Mat}_F$ . Por otra parte, resulta un poco extraño introducir una distinción entre los objetos en $\mathbf{FVectB}$ que no participa en absoluto en la decisión de cuáles son los morfismos y cómo se componen -- pero visto a nivel categórico eso no es realmente tan diferente de tener múltiples objetos isomórficos en una categoría, lo que ya ocurre para $\mathbf{FVect}$ sí mismo.
