Signo de $\boldsymbol{f}$
Si $k\gt2$ no se supone que ser un número entero, entonces tenemos que asumir que la $f$ es no negativo para $f(x)^k$ a tener sentido. Por otra parte, si $k=4$$f(x)=2x^6-x$, luego
$$
4(k+1)\int_0^1f(x)^k\,\mathrm{d}x=\frac45\gt\frac{102}{133}=1+3k\int_0^1f(x)^{k-1}\,\mathrm{d}x\tag{1}
$$
Por lo tanto, creo que es seguro asumir que $f$ debe ser no negativo.
Variacional Argumento
Para maximizar $\int_0^1\left(4(k+1)f(x)^k-3kf(x)^{k-1}\right)\,\mathrm{d}x$ todos los $f$, de modo que $f(0)=0$ $f(1)=1$ necesitamos
$$
\begin{align}
0
&=\delta\int_0^1\left[4(k+1)f(x)^k-3kf(x)^{k-1}\right]\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1\left[4(k+1)kf(x)^{k-1}-3k(k-1)f(x)^{k-2}\right]\delta f(x)\,\mathrm{d}x\tag{2}
\end{align}
$$
para cada $\delta f$ que corrige $\int_0^1f'(x)\,\mathrm{d}x$; es decir,
$$
\begin{align}
0
&=\delta\int_0^1f'(x)\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1f''(x)\delta f(x)\,\mathrm{d}x\tag{3}
\end{align}
$$
Para satisfacer estas condiciones para todos los $\delta f$, necesitamos una constante$\lambda$, de modo que
$$
\begin{align}
f''(x)
&=\lambda\left[4(k+1)kf(x)^{k-1}-3k(k-1)f(x)^{k-2}\right]\\
&=\lambda 4k(k+1)f(x)^{k-2}\left[f(x)-\frac34\frac{k-1}{k+1}\right]\tag{4}
\end{align}
$$
Ahora podemos utilizar la condición de que $f''(x)\ge0$. Tenga en cuenta que si $\lambda\ne0$, entonces el lado derecho de la $(4)$ cambia de signo como $f(x)-\frac34\frac{k-1}{k+1}$, lo que se debe desde $f(0)=0$$f(1)=1$. Por lo tanto, debemos tener la $\lambda=0$. Esto a su vez implica que el $f''(x)=0$. Por lo tanto, debemos tener la
$$
f(x)=x\etiqueta{5}
$$
lo que significa que
$$
\begin{align}
\int_0^1\left(4(k+1)f(x)^k-3kf(x)^{k-1}\right)\,\mathrm{d}x
&\le\int_0^1\left(4(k+1)x^k-3kx^{k-1}\right)\,\mathrm{d}x\\
&=1\tag{6}
\end{align}
$$
que es equivalente a la condición buscada.
