La ampliación de una biholomorphic mapa entre dos superficies de Riemann

Question

Considere el siguiente problema:

$X$ $Y$ son dos compacto de las superficies de Riemann, $S$ es un finito subconjunto de $Y$ $f:X\longrightarrow Y$ es un holomorphic mapa cuyo conjunto de puntos de ramificación es $S$. Ahora supongamos que
$$ f|_{X\setminus f^{-1}(S)}:X\setminus f^{-1}(S)\longrightarrow Y\setminus S $$ es biholomorphic. Existe un biholomorphic mapa $\overline f:X\longrightarrow Y$ que se extiende $f|_{X\setminus f^{-1}(S)}$ en una forma única?

La respuesta es sí , y una manera de ver esto es pasando a la categoría de suaves curvas proyectivas. De hecho, $X$ $Y$ considera tan suaves curvas proyectivas son birational, y por lo que deben ser isomorfos.

Me gustaría una solución para el problema anterior sin pensar en las curvas algebraicas. Quiero mostrar la existencia de $\overline f$ sólo con complejo de herramientas de análisis; por ejemplo, creo que es suficiente la definición de la integral extraíble singularidades teorema. Alguna idea?

Gracias de antemano

Answer 1

Si te gusta un poco más de álgebra, puede también razón de la siguiente manera: El mapa de $f:X \longrightarrow Y$ es un birational isomorfismo. El género de una superficie de Riemann es un birational invariante: por lo tanto, $g(X) = g(Y)$ para el género. Ahora la fórmula de Riemann-Hurwitz da

$$g(X) = b/2 + \ (deg \ f) (g(Y) - 1) + 1,$$

con $b$ el total de la ramificación de la orden de $f$. Con $deg \ f = 1$ $g(X) = g(Y)$ obtener $b = 0$. Por lo tanto $f$ es unramified ya, q.e.d.

Answer 2

Cualquier no constante holomorphic mapa de $f : X \to Y$ entre el compacto de las superficies de Riemann es finito, mapa, lo que significa que el conjunto de $f^{-1}(y)$ es finito para cualquier $y \in Y$. Técnicas estándar de una variable compleja muestran que si los puntos en la preimagen $f^{-1}(y)$ son contados con su multiplicidad, entonces el número de $n:=\# f^{-1}(y)$ es constante en $Y$ si $Y$ está conectado (de lo contrario es constante en cada componente conectado de $Y$; este es un estándar de la topología de conexión argumento). Llamamos a $n$ el orden de $f$.

En su situación, $f$ es de orden uno, como se puede comprobar en el conjunto donde se biholomorphic, por lo $f^{-1}(y)$ contiene exactamente un punto para todos los $y \in Y$. Esto significa que $f : X \to Y$ es inyectiva. También es surjective si $X$ $Y$ están conectados, porque $f(X) \subset Y$ es no vacío, conectado, lo abierto y lo cerrado, la última por la carta abierta teorema. Un holomorphic función que es inyectiva y surjective es un biholomorphism.