Isomorfismo de límite directo

Question

Supongamos que tengo un sistema dirigido $(V_i, \phi_i: V_i \rightarrow V_{i+1})$ digamos de espacios vectoriales $V_i$ . Sea $\psi_i: V_i \rightarrow V_i$ sean isomorfismos. Puedo construir el sistema dirigido relacionado $(V_i, \phi_i\circ \psi_i: V_i \rightarrow V_{i+1})$ . ¿Es cierto que los límites directos $\lim_{\phi_i} V_i$ y $\lim_{\phi_i\circ \psi_i} V_i$ ¿son isomorfas? Me parece que no se puede utilizar directamente $\psi_i$ para obtener el isomorfismo del sistema dirigido, pero puede que los límites sigan siendo isomorfos.

Edición: Como se explica en la respuesta de Jeremy más abajo, esto es falso en general. ¿Y si $\phi, \psi$ ¿Ir al trabajo? $\phi_i \psi_i = \psi_{i+1}\phi_i$ . En este caso, $\psi$ induce un isomorfismo de $\lim_{\phi_i} V_i$ . ¿Implica esta suposición más fuerte que $\lim_{\phi_i} V_i$ y $\lim_{\phi_i\circ \psi_i} V_i$ ¿son isomorfas? En el ejemplo de Jeremy, $\phi, \psi$ no se desplacen.

Answer 1

Toma $V_i=k^2$ para todos $i$ con $\phi_i$ dada por la matriz $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ para todos $i$ . Entonces $\varinjlim_{\phi_i}V_i$ es unidimensional.

Pero ahora toma $\psi_i$ sea el isomorfismo dado por la matriz $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ para todos $i$ . Entonces $\varinjlim_{\phi_i\circ\psi_i}V_i$ es cero.

La respuesta a la pregunta complementaria sobre el caso en que $\phi_i\psi_i=\psi_{i+1}\phi_i$ es que en este caso los sistemas dirigidos son isomorfos (vía $\psi_i^i:V_i\to V_i$ ), por lo que los límites directos son isomorfos.