Para reflexiva espacio de Banach, tenemos $\left\Vert x-y\right\Vert =\left\Vert x+F\right\Vert _{E/F}$

Question

El problema es:

Sea E un espacio de Banach y $F\subset E$ ser un cerrado lineal subespacio. Demostrar que para cada $x \in E$ existe $y \in F$ tal que $\left\Vert x-y\right\Vert =\inf\left\{ \left\Vert x-z\right\Vert :\, z\in F\right\} =\left\Vert x+F\right\Vert _{E/F}$.

Mis esfuerzos:

Por definición, sabemos que $\left\Vert x+F\right\Vert _{E/F}:=\inf\left\{ \left\Vert x+z\right\Vert :\, z\in F\right\} $, y desde $F$ es un subespacio lineal, tenemos que $\inf\left\{ \left\Vert x+z\right\Vert :\, z\in F\right\} =\inf\left\{ \left\Vert x-z\right\Vert :\, z\in F\right\} $.

Mi idea:

Sabemos que para cada secuencia delimitada en un reflexivo espacio de Banach, existe una débilmente convergente larga.

Mi pregunta:

¿Cómo puedo utilizar ahora la debilidad de la convergencia para demostrar la primera de igualdad de mi estado de cuenta? He hecho ningún error hasta ahora?

Answer 1

Croquis de la prueba. Podemos encontrar una secuencia $\{y_n'\}\subset F$ tal que $\lVert x-y_n'\rVert_E\leq \lVert x+F\rVert_{E/F}+\frac 1n$. Tenemos $$\lVert y_n'\rVert\leq \lVert x-y_n'\rVert_E+\lVert x\rVert_E\leq \lVert x\rVert_E+F\rVert_{E/F}+\frac 1n\leq \lVert x\rVert_E+F\rVert_{E/F}+1,$$ por lo tanto la secuencia de $\{y_n'\}$ acotada. Desde $F$ es un subespacio cerrado de un reflexivo subespacio, es en sí misma reflexiva de ahí podemos extraer débilmente convergente larga (en $F$) $\{y_n\}$ para algunos $y\in F$. Tenemos que $x-y_n$ converge débilmente a $x-y$ $E$ y sabemos que si $u_n\rightharpoonup u$$\lVert u\rVert\leq \liminf_n\lVert u_n\rVert$. Esta desigualdad muestra que $y$ que hace el trabajo.