Integrales impropias duras

Question

Definir $\alpha$ , tal que las siguientes integrales convergen: $$I_1 = \int_{0}^{\infty} (x + \frac{1}{x})^{\alpha} \ln (1+x^{- 3 \alpha}) d x, \\ I_2 = \int_0^1 x^{\alpha}(1-x)^{\beta} \ln x d x , \\ I_3 = \int_0^{\infty} \frac{|\sin x|}{e^{x^2 \sin^2 (x)}} d x, \\ I_4 = \int_0^{\infty}\frac{d x}{1 + x^{\alpha} \sin x^2}. $$ ¿Puede sugerir algunas ideas, por favor? No puedo resolverlos desde hace una semana...

Answer 1

Los dos primeros:

$I_1$ : de $\ln(1+x)\leq x$ , $$\left(x+\frac1x\right)^\alpha\ln(1+x^{-3\alpha})\leq \left(x+\frac1x\right)^\alpha \,\frac1{x^{3\alpha}}=\left(1+\frac1{x^2}\right)^\alpha\,\frac{1}{x^{2\alpha}}, $$ por lo que la convergencia de la integral en $\infty$ está garantizado si $2\alpha>1$ es decir $\alpha>1/2$ . Para $\alpha\leq1/2$ ya que sólo nos importan los valores grandes de $x$ tenemos $$\left(x+\frac1x\right)^\alpha\ln(1+x^{-3\alpha})\geq x^\alpha\,\frac1{2x^{3\alpha}}=\frac1{2x^{2\alpha}} $$ y la integral divergirá.

A cero, $$\left(x+\frac1x\right)^\alpha\ln(1+x^{-3\alpha})\geq -3\alpha\,\frac {\ln x}{x^\alpha} $$ y la integral divergirá si $\alpha\geq1$ . Para $\alpha <1$ , $$\left(x+\frac1x\right)^\alpha\ln(1+x^{-3\alpha})\leq 2^\alpha\,\frac {\ln2-3\alpha\ln x}{x^\alpha}$$

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$I_2$ tenemos, para cualquier $\alpha\geq0$ , $$ \left|\int_0^1 x^\alpha(1-x)^{\beta}\,\ln x\,dx\right|\leq\int_0^1|\ln x|\,dx=1, $$ por lo que la integral converge. Para $-1<\alpha<0$ tenemos $$ x^{\alpha}\ln x=x^{\alpha-(\alpha+1)/2}(x^{(\alpha+1)/2}\ln x), $$ la expresión entre paréntesis estará acotada, y la integral converge porque $-1<(\alpha-1)/2<0$ . Para $\alpha\leq-1$ la integral divergirá. La constante $\beta$ se ocupa de la convergencia en $1$ . Cuando $\beta\geq0$ la integral converge como viene dada por $\alpha$ arriba. Para $\beta<0$ podemos ver el comportamiento cambiando las variables $x\longmapsto 1-x$ Así que $$ I_2=\int_0^1 (1-x)^\alpha x^\beta\,\ln(1-x)\,dx. $$ Cerca de $0$ , $$(1-x)^\alpha x^\beta\,\ln(1-x)\simeq x^\beta(-x)=-x^{\beta+1}.$$ Por tanto, la integral convergerá cuando $\beta+1>-1$ Es decir $\beta>-2$ . Se divertirá para $\beta\leq-2$ .