¿Necesitamos que las intersecciones finitas de los conjuntos abiertos sean abiertas?

Question

¿Hasta qué punto es importante/indispensable para la teoría general de la topología el requisito de que los conjuntos abiertos sean cerrados bajo intersecciones finitas?

Si no estoy pasando por alto algo crucial, entonces una gran parte de la topología dominante sigue siendo cierta si se sustituye "topología" por "topología generalizada", que sólo requiere que las uniones de conjuntos abiertos sean abiertas. Esto parece ser cierto para los principales pilares topológicos, es decir, la continuidad y la compacidad hasta el teorema de Tychonoff. Si esto es así, ¿por qué el 95% de la literatura hace tanto hincapié en el requisito de la intersección finita? ¿Qué teoremas topológicos importantes fallan sin él?

Answer 1

Hay un problema con los productos. Considere el siguiente hecho estándar de la topología ordinaria.

Propuesta : Si $f:X\to A$ y $g:X\to B$ son continuos, entonces $(f,g):X\to A\times B$ es continua.

Prueba : Dejemos que $U\subset A$ y $V\subset B$ sean subconjuntos abiertos. Entonces $(f,g)^{-1}(U\times V)=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\subset X$ está abierto. Los conjuntos $U\times V$ son una base para la topología en $A\times B$ Así que $(f,g)$ es continua. $\blacksquare$

La prueba necesita la intersección de dos subconjuntos abiertos de $X$ para estar abierto, por lo que falla si $X$ es un espacio topológico generalizado.

Resulta que la topología del producto es la equivocada para trabajar con topologías generalizadas. Cualquier cosa que llamemos producto $A\times B$ debe tener la propiedad de que un mapa $(f,g):X\to A\times B$ es continua si y sólo si $f$ y $g$ son continuos. Existe una topología generalizada con esta propiedad: un subconjunto $C\subset A\times B$ es abierto si para cada $(a,b)\in C$ o bien existe una vecindad abierta $U\subset A$ de $a$ con $U\times B\subset C$ o existe una vecindad abierta $V\subset B$ de $b$ con $A\times V\subset C$ .

La topología del producto generalizado es la que es, pero hay algunos problemas. Consideremos otro hecho de la topología ordinaria.

Propuesta : Supongamos que $f,g:X\to \mathbb{R}$ son funciones continuas. Entonces $f+g$ es continua.

Prueba : Las funciones $(f,g):X\to\mathbb{R}^2$ y $a:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ , $(x,y)\mapsto x+y$ son continuas, por lo que la composición $a\circ (f,g)=f+g$ también es continua. $\blacksquare$

Esto falla si $X$ es un espacio topológico generalizado: si tomamos la topología del producto ordinario sobre $\mathbb{R}^2$ entonces $(f,g)$ puede no ser continua, y si tomamos la topología del producto generalizado sobre $\mathbb{R}^2$ entonces $a$ no es continua. El contraejemplo que di en los comentarios es $X=\{1,2,3\}$ donde definimos todos los subconjuntos excepto $\{1\}$ para ser abierto, $f$ es la función característica de $\{2\}$ y $g$ es la función característica de $\{3\}$ . Entonces $f$ y $g$ son continuos, pero $f+g$ no lo es.