Encontrar todos Laurent expansiones de $f=\frac{1}{z}$

Question

Tengo el siguiente tarea problema necesito ayuda con:

Deje $G=\{z\in\mathbb{C}:\, z\neq0\}$ y definen $f:\, G\to G$ por $f(z)=\frac{1}{z}$.

Encontrar todos los posibles Laurent expansiones de $f$ que no están de Taylor expansiones y para cada uno de estos expansión especificar en qué conjunto de las Laurent la serie converge.

Lo que he intentado:

Para el punto de $z=z_{0}$ hay Laurent expansiones en $$E_{1}:=0<|z|<R$$ y en $$E_{2}:=|z|>R$$

Donde $R>0$ es real.

Estoy seguro acerca en que se fijó el Laurent de la serie converge a $f$ pero parece que en ambos casos la serie de Laurent $f$ es simplemente $\frac{1}{z}$ y converge en todos los puntos de $E_{1}$o $E_{2}$ (según el caso).

Estoy en lo cierto ?

Para $z_{0}\ne0$ el Laurent expansiones que no es Taylor es en $$E_{1}:=0\leq|z|<R$$ where $R>|z_{0}|$ and $$E_{2}:=|z|>R$$ donde $R<|z_{0}|$.

No estoy seguro sobre dónde debo de utilizar $<$ o $\leq$ en el descripción de $E_{1},E_{2}$.

También estoy teniendo dificultades para encontrar el de la serie de Laurent en $E_{i}$ y diciendo que es convergente.

Por favor alguien puede ayudarme con el caso de $z\neq z_0$ y decirme si lo hizo correctamente el primer caso ($z=z_0$) ?

Answer 1

Lo que tienes es un poco confundido. Al $z_0=0$, entonces no es sólo la de una expansión con $0<|z_0|$, y como usted dijo, el Laurent expansión es $f(z) = \dfrac 1z$.

Al $z_0\ne 0$, usted tiene dos posibles regiones: (1) $0<|z-z_0|<|z_0|$ y (2) $|z_0|<|z-z_0|<\infty$. Usted necesita una ampliación de los poderes de $z-z_0$. Así que empieza así: $$\frac1z = \frac1{z_0+(z-z_0)}=\frac1{z_0}\cdot\frac1{1+\frac{z-z_0}{z_0}}\,.$$ Al $|z-z_0|<|z_0|$, sustituto $u=\frac{z-z_0}{z_0}$ y tenga en cuenta que $|u|<1$. Ahora el uso de series geométricas. Al $|z-z_0|>|z_0|$, esto no funciona, por lo que el factor de la mayor plazo: $$\frac1z = \frac1{z_0+(z-z_0)}=\frac1{z-z_0}\cdot\frac1{1+\frac{z_0}{z-z_0}}\,.$$ Como antes, sustituto $u=\frac{z_0}{z-z_0}$, tenga en cuenta que $|u|<1$, y proceder.