Método de Runge-Kutta y el Paso de duplicación de la

Question

Estoy estudiando los métodos de Runge-Kutta y el tamaño de paso de control y vino para arriba con un par de dudas. Porque están relacionados con este método de integración, voy a dividirlo en dos partes. En primer lugar, permítanme presentarles el problema.

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$1^{st}$ parte: preguntas sobre los métodos de Runge-Kutta

Considere la posibilidad de una $2^{nd}$ orden de Runge-Kutta con la forma general:

$k_{1}=hf(x_{n},y_{n})$

$k_{2}=hf(x_{n}+\frac{1}{2}h,y_{n}+\frac{1}{2}k_{1})$

$y_{n+1}=y_{n}+k_{2}+O(h^{3})$

donde $f(x_{n},y_{n}) = y'(x_{n})$

Ahora, si vamos a considerar la $4^{th}$ orden de Runge-Kutta queremos conseguir

$k_{1}=hf(x_{n},y_{n})$

$k_{2}=hf(x_{n}+\frac{1}{2}h,y_{n}+\frac{1}{2}k_{1})$

$k_{3}=hf(x_{n}+\frac{1}{2}h,y_{n}+\frac{1}{2}k_{2})$

$k_{4}=hf(x_{n}+h,y_{n}+k_{3})$

$y_{n+1}=y_{n}+\frac{1}{6}k_{1}+\frac{1}{3}k_{2}+\frac{1}{3}k_{3}+\frac{1}{6}k_{4}+O(h^{5})$

Esto me lleva a las siguientes preguntas:

1. Entiendo por qué el método de 2º orden con el $y_{n+1}$ indicado anteriormente. Sin embargo, ¿no debería el $4^{th}$ fin de la versión del método se expresa sólo como $y_{n+1}=y_{n}+k_{4}+O(h^{5})$ que $k_{4}$ implícitamente tiene los valores de $k_{1}$$k_{3}$?
2. ¿Por qué el $4^{th}$ pedido versión tiene los coeficientes fraccionarios?

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$2^{nd}$ parte - preguntas acerca del tamaño de paso de control de

Considere la posibilidad de la solución exacta para un avance de $x$ $x+2h$ $y(x+2h)$y las dos soluciones aproximadas por $y_{1}$ (un paso 2h) y $y_{2}$ (dos pasos, cada uno de tamaño $h$). Teniendo en cuenta el $4^{th}$ método de orden tenemos:

$y(x+2h)=y_{1}+(2h)^{5}\phi+O(h^{6})+...$

$y(x+2h)=y_{1}+2(h)^{5}\phi+O(h^{6})+...$

La diferencia entre estas estimaciones permite estimar el error de truncamiento:

$\Delta=y_{2}-y_{1}$

Que luego podemos utilizar para mejorar la estimación numérica de la solución verdadera:

$y(x+2h)=y_{2}+\frac{\Delta}{15}+O(h^{6})$

Esto me lleva a las siguientes preguntas:

1. En las dos expresiones de y(x+2h) en la parte superior, no $\phi$ se incluyen los términos de $k_{1}...k_{4}$ en la primera parte de este post?
2. ¿Por qué es la expresión final $5^{th}$ pedido, si el problema original se $4^{th}$ pedido?
3. ¿De dónde viene el coeficiente de $\frac{1}{15}$?

Gracias por todo el conocimiento!

Answer 1

Respuesta a la Parte 1

Las fracciones de los coeficientes en RK4 suma a 1. Esto es, en parte, para satisfacer lo que se conoce como el fin de las condiciones de la empresa integradora. Básicamente, queremos RK4 para ser un 4º orden, método. Para que esto sea verdadero, tiene que satisfacer una especial relación con los coeficientes de su Carnicero de Tableau (ver en la parte superior aquí), es decir,

$$\mathbf{b}^T A^kC^{l-1}\mathbf{1} = \frac{(l-1)!}{(l+k)!}$$

donde $A$ es de los coeficientes en la parte principal del cuadro, $\mathbf{b}$ es un vector de la $b$ coeficientes (en RK4, esto es 1/6, 1/3, 1/3, 1/6), y $C$ es una matriz diagonal formada por los $C$ de los coeficientes.

Necesitamos para elaborar estos coeficientes para obtener $0$-estabilidad. Es comprobable que si el método es $0$-estable, va a converger a la orden de precisión, en este caso, la orden de 4, o $h^4$.

La razón por la que llevamos $k_1$, $k_2$, etc. a través de la solución final es porque $k_4$ no es simplemente una suma de la anterior $k$'s. Cada una de las $k$ puede considerarse como una proyección de una diferencia finita. El método RK esencialmente los promedios de estas proyecciones en una manera no estándar. Si usted hace la matemáticas formalmente, se encuentra que con estos pesos, se obtiene una precisión óptima para su número de función de las evaluaciones.

Answer 2

Para la primera parte, el artículo de la Wikipedia http://en.m.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods tiene una discusión detallada de los diferentes miembros de la familia junto con una derivación de RK-4. La idea clave es que usted puede hacer lo que quiera en términos de la escritura de la forma de su aproximación; lo único que importa es que haciendo una expansión de Taylor hace que todos los términos de error de hasta el orden de aproximación se desvanecen. Es de esta forma que los coeficientes son los elegidos.

A continuación, en la siguiente parte, $\phi$ es el de la expresión para el error cometido en el paso, sin el $(2h)^5$ plazo. Se lo debe considerar como una expresión en términos de los derivados de la $y$$x$, pero su forma exacta no es importante, sólo su independencia de $h$. Es el mismo en ambas líneas de primer orden en $h$, por lo que los errores son escondidos en el término de corrección. Tenga en cuenta que la cuarta orden significa el término de error es: $h^5$ por paso que es todo. A continuación, utilice dos cuarto orden aproximaciones para obtener una mejor mediante el cálculo del error de aproximadamente. Esto es razonable, ya que usted ha utilizado más datos.

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En cuanto a la $1/15$ factor, que simplemente surge debido a $(2h)^5-2(h)^5=(16-1)h^5=15h^5$ y si hace sólo un paso de tamaño $h$ usted obtiene un factor de $h^5$. Pruebe cuidadosamente definir y anotar las diferentes cosas que trabajar, entonces usted puede ver por qué se toma la diferencia de esta manera.