Si $g(x):=f(x, kx^m)$ es continua en $0$ entonces $f(x,y)$ es continua en $(0,0)$

Question

Si $g(x):=f(x, kx^m)$ es continua en $0\;\;\;$ $\forall k\in R$ , $\;\;\;\forall m\in N$ entonces $f(x,y)$ es continua en $(0,0)$ .

No estoy muy seguro de lo que se quiere decir aquí con a 0. Esto significa $f(x, kx^m) = 0$ ? ¿Parece que podría haber un problema en esta afirmación cuando k = 0?

Answer 1

No es verdad. Deja que $f$ se define por $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ y $f(0,0)=0$ . Obtuve este ejemplo buscando en Google "continuo en cada línea" y haciendo clic en este . Puede ver que $f$ no es continua en cero acercándose a $(0,0)$ a lo largo de la curva $x=y^2$ pero satisface las hipótesis del problema.

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Hay un ejemplo mucho más fácil. Defina $f$ por $f(0,y)=1$ si $y\neq0$ y $f(x,y)=0$ de lo contrario.

Answer 2

Para afinar la respuesta de Jonas, podrías tomar $f(x,y)=\frac{e^{-1/x^2}y}{e^{-2/x^2}+y^2}$ para $(x,y)\neq (0,0)$ y $0$ para $(x,y)=(0,0)$ . Entonces el límite a lo largo de cualquier curva algebraica que pase por $(0,0)$ es cero, pero el límite a lo largo de $y=e^{-1/x^2}$ es $1/2$ .