¿Por qué excluimos $0$ y unidades de la definición de elementos irreducibles? Más claramente, ¿cómo se puede demostrar que para las unidades y $0,$ $c=ab$ no siempre implica tampoco $a$ o $b$ es una unidad (donde $c = 0$ o $c$ es una unidad)?
Para $0$ mi opinión es que $0=0\cdot c$ para alguna unidad no $c$ .
Se excluyen el cero y las unidades porque, en general, la factorización carecería de sentido. Por ejemplo, decimos $6$ tiene dos factores $2$ y $3$ . Estas son las formas normales de los espacios de 2 por una unidad, y de 3 por una unidad.
Si se incluyeran las unidades, la factorización podría ser $2\cdot-3\cdot-1$ que sugiere tres factores. Sin embargo, $-3$ es una variedad de $3$ en el sentido de que cada uno divide al otro, y el producto con $-1$ lo divide sin $-1$ .
Así, la factorización busca números cuyo producto divide al número y viceversa, pero cualquier producto menor no es divisible por el número. Son estos los que funcionan como primos.
La única vez que se incluyen unidades, si el producto de los primos en sus formas normales no dan el número expresado, así por ejemplo $-6=-1\cdot2\cdot3$ .
$0$ también se excluye, simplemente porque no divide nada a menos que sea el propio cero. Así que cualquier cosa distinta de cero no es un producto de elementos que incluya $0$
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