Es cierto que una curva de rellenado de espacio no puede ser inyectiva en todas partes?

Question

Aquí, se dice que una curva de rellenado de espacio no puede ser inyectiva porque "eso hará que la curva de un homeomorphism de la unidad de intervalo en la unidad de la plaza", ya que cada continuo bijection de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es un homeomorphism.

Que no significa que no puede ser inyectiva asignación de $[0,1]$ a $[0,1]\!\times\![0,1]$, pero que en realidad no nos dicen nada acerca de las asignaciones de noncompact intervalos en la unidad de la plaza. En el caso de los ordinarios de Peano-curva de Hilbert, que no ayuda mucho: la construcción ha infinitamente ^{(sólo countably, a pesar de que)} muchos inherentes puntos de superposición (discutido aquí: ¿De qué manera es la curva de Peano no uno-a-uno con $[0,1]^2$? ), pero realmente no puedo ver ninguna razón por qué no puede ser un espacio de llenado de la curva sin dichos puntos. Por supuesto, la curva inversa puede no ser continua, pero cuando la asignación de un noncompact intervalo no necesitan ser! Después de todo, hay otras curvas de asignación de noncompact espacios bijectively para compactar en forma continua, pero con no continuas inversa, como la obvia $[0,2\pi[\to S^1$.

Answer 1

No hay ninguna continuo bijections de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$o a $[0,1]^2$.

Supongamos $f$ es una continua inyección de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$. A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}$, $f|_{[-n,n]}$ es una continua inyección de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff, y por lo tanto un homeomorphism en su imagen. Así, la imagen de $f([-n,n])$ es denso en ninguna parte: es compacto, por lo tanto cerrado, por lo tanto si en algún lugar densa que contiene una bola cerrada. Pero entonces no sería infinitamente muchos puntos que podrían ser eliminados de la misma sin tener que desconectarlo, contradiciendo ser homeomórficos a $[-n,n]$.

Así, la imagen de $f$ es una contables de la unión de la nada-densos conjuntos. Así que por la categoría de Baire teorema no puede ser todo de $\mathbb{R}^2$, o de hecho cualquier conjunto con interior no vacío.