Prueba de estabilidad de Lyapunov para sistemas discretos

Question

No he sido capaz de encontrar una prueba sólida para el estándar de Lyapunov teorema relativo a la estabilidad de sistemas discretos. Cada prueba que he leído parece imitar la prueba para el caso continuo.

Como ejemplo, vamos a echar un vistazo a la prueba dada en este informe técnico, centrándose en el subrayado de la sentencia (tenga en cuenta que hay un error ahí, como debería haber sido $t \geq 0$ en lugar de $t \leq 0$ ).

No creo que esto realmente demuestra que cualquier trayectoria de partida en $\Omega_{\beta}$ se queda en $\Omega_{\beta}$. Tenga en cuenta que nada impide que, en algunos $t=k$, $||x(k)|| > r$, con $V(x(k)) \leq \beta$. Para el caso continuo la continuidad de la trayectoria de $x(t)$ garantiza que si $||x(t_0)|| < r $$||x(t_1)|| > r $, $||x(t_*)|| = r$ algunos $t_* \in (t_1, t_2)$. A partir de ahí podemos ver una contradicción, como $V(||x(t_*)||) \geq \alpha > \beta$. Sin embargo, en el caso discreto, no podemos tener la certeza, como la "trayectoria" ya no es continuo.

Answer 1

Usted está en lo correcto que no se puede concluir que a partir de la definición de $\Omega_{\beta}$, al menos yo no veo cómo. El principal problema es que el $\Omega_{\beta} = B_r \cap V^{-1}([0, \beta])$ puede tener varios componentes conectados.

Usted puede solucionar este argumento de la siguiente manera. Considere la posibilidad de $C_{\beta} \subset \Omega_{\beta}$ a ser el componente conectado de $\Omega_{\beta}$ contiene $x=0$. Ahora podemos demostrar que $f^n(C_{\beta}) \subset C_{\beta}$ por cada $n\geq 0$.

El argumento es muy similar a la que se mencionó para el caso de los flujos, sino con el hecho de que $f^n(C_{\beta})$ está conectado por cada $n\geq 0$ y contiene $x=0$, ya que es un punto fijo de $f$. Primero demostrar que $f^n(C_{\beta}) \subset B_r$, para cada $n\geq 0$. Si no fuera el caso, entonces usted puede encontrar un punto de $y\in C_{\beta}$ tal que $\|f^N(y)\|=r$ algunos $N>0$. Dado que la función de Lyapunov es no creciente a lo largo de la órbita de $y$ esto le da una contradicción con la elección de $\beta$.

Por lo tanto $f^n(C_{\beta})$ se conecta, contiene $x=0$, y está contenida en $B_r\cap V^{-1}([0,\beta])$, lo que implica que $f^n(C_{\beta}) \subset C_{\beta}$. El resto de la prueba sigue en la misma manera como en tu post.