La conmutación de los operadores en la teoría cuántica

Question

Siempre he escrito las reglas de conmutación de la teoría cuántica como , $[q,p] = i\hbar\delta _{ij}$

Pero parece que algunas personas escribir esto,ya que

$[q^i,v_j]= \frac{i\hbar}{M}\delta^i _{j}$

(..esto se hace a menudo en el contexto de la toma de la Galilian límite de grupo del grupo de Poincaré...aunque no estoy seguro de que los aspectos de la misma hace hincapié-- el no relativstic aspecto o la no-quantum aspecto?..)

• Pero de alguna manera dimensionalmente la segunda forma que no se vea bien. Me estoy perdiendo algo?

En la misma cepa, parece que los operadores de "finito de boost por $v$" y es realizado por el operador $exp(\frac{iK.v}{\hbar})$ y el "finito de traducción por $q$" es efectuado por el operador $exp(\frac{iMv.q}{\hbar})$. (..donde $v$, $q$ y $K$ todos los $3-vectors$..)

• Me gustaría saber cómo la anterior es racionalizado. Preguntar de nuevo - es el de arriba tomar sólo el no-límite relativista o es también un no-límite cuántico ?

Answer 1

No hay nada malo acerca de las dimensiones de análisis. $\hbar$ tiene la dimensión de $x\cdot p$, lo $[x,p]=i\hbar$ es el estándar de la mayoría de colector de la mecánica cuántica.

Ahora, la velocidad es $v=p/m$, que es otra manera de escribir la costumbre simple definición de un impulso, $p=mv$, por lo que el derecho colector $[x,v]$ obviamente incluirán $i\hbar/m$, demasiado. Es la misma cosa dividido por $m$.

El exponenciales son sólo dos ejemplos de la mayoría de los estándares manera de obtener un número finito de transformación de la (infinitesimal, Hermitian) generador de $G$. El finito transformación es siempre $$ \lim_{N\to\infty} \left( 1 + \frac GN \right)^{\phi N} = \exp(i\phi G) $$ donde $\phi$ es la cantidad limitada de la transformación. Para Galileo aumenta, el generador es $G=(\sum q_i M_i)/M_{\rm total}$ - el centro de masa (su declaración de que el generador es $v$ es simplemente incorrecta). Para las traducciones, el generador es $G=p$.

En cualquier caso, la obtención de elementos finitos de una Mentira grupo desde el generador de una Mentira álgebra - por una exponencial - es la primera cosa que un estudiante aprende cuando oye tanto acerca de la Mentira de grupos y álgebras de Lie, y si usted no entiende este punto antes, esto sólo demuestra que cada una de las preguntas que previamente han publicado en este servidor era totalmente inapropiado porque le falta al menos tres crítica capas de conocimiento que son pre-requisitos para los temas que se discuten en todas sus anteriores preguntas (acerca de temas avanzados como supermultiplets en exóticas teorías supersimétricas).