Demostrando que una caminata aleatoria que diverge hacia el infinito puede no volverse negativa

Question

Considera una caminata aleatoria $S_n= \sum_{k=1}^n X_k$, donde $\{X_k\}_{k=1}^\infty$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Supongamos que $S_n \rightarrow \infty$ casi seguramente cuando $n \rightarrow \infty$. Sea $$\tau = \inf\{n \geq 1: S_n \leq 0\}.$$

En el libro "Stopped Random Walks - Limit Theorems and Applications" de Allan Gut encontré un teorema que establece que bajo las suposiciones anteriores $\tau$ es defectuoso, es decir, $$\mathbb{P}(\tau = \infty)>0.$$ Sin embargo, no se proporciona una demostración para el teorema. ¿Podría alguien dar alguna pista sobre cómo demostrar este teorema? Además, ¿alguien sabe si hay alguna generalización del teorema para el caso en que $\{X_k\}_{k=1}^\infty$ no son i.i.d.? ¡Gracias por su tiempo!

Answer 1

En esta respuesta presentaré una prueba que utiliza métodos de martingala; sin embargo, la prueba solo funciona para caminatas aleatorias con incrementos iid que satisfacen ciertas condiciones de integrabilidad (ver la observación al final); para simplificar, asumiré que los incrementos están acotados, es decir, que existe una constante $K>0$ tal que

$$\mathbb{P}(|X_i| \leq K)=1. \tag{1}$$

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Para $\lambda>0$ establecemos $$\phi(\lambda) := \mathbb{E}\exp(-\lambda X_1).$$

Dado que, por suposición, $S_n \to \infty$ casi seguramente, se sigue del teorema de Chung-Fuchs que

$$\mathbb{E}(X_1)>0. \tag{2}$$

Dado que $-\mathbb{E}(X_1) = \phi'(0)$ encontramos que $\phi'(0)<0$ y, por lo tanto, podemos encontrar $\lambda>0$ tal que $\phi(\lambda)<1 = \phi(0)$. Definimos

$$M_n := \exp(-\lambda S_n)$$

Usando que los incrementos son independientes e idénticamente distribuidos, no es difícil ver que $(M_n)_{n \geq 1}$ es una supermartingala. Aplicando el teorema de paro opcional, encontramos que

$$\mathbb{E}(M_{n \wedge \tau})\leq \mathbb{E}(M_1) = \phi(\lambda) \tag{3}$$

para todo $n \geq 1$. Por la definición de $\tau$ tenemos

$$S_{n \wedge \tau}(\omega) \xrightarrow[]{n \to \infty} S_{\tau}(\omega) \leq 0 \quad \text{para $\omega \in \{\tau<\infty\}$}.$$

Por otro lado, $S_n \to \infty$ c.s. implica que

$$S_{n \wedge \tau}(\omega) \xrightarrow[]{n \to \infty} \infty \quad \text{para $\omega \in \{\tau=\infty\}$}.$$

Combinando ambas consideraciones y usando que $\lambda$ es estrictamente positivo, encontramos que

$$M_{t \wedge \tau_n} = \exp(-\lambda S_{n \wedge \tau}) \xrightarrow[]{n \to \infty} \exp(-S_{\tau}) 1_{\{\tau<\infty\}} = M_{\tau} 1_{\{\tau<\infty\}}.$$

Aplicando el lema de Fatou obtenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E}(M_{\tau} 1_{\{\tau<\infty\}}) = \mathbb{E} \left( \lim_{n \to \infty} M_{n \wedge \tau} \right) &\leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}(M_{n \wedge \tau}) \\ &\stackrel{(3)}{\leq} \phi(\lambda) < 1. \tag{4} \end{align*}$$

Dado que $\lambda>0$ y $S_{\tau}(\omega) \leq 0$ para cualquier $\omega \in \{\tau<\infty\}$, tenemos

$$M_{\tau}(\omega) = \exp(-\lambda S_{\tau}(\omega)) \geq 1, \qquad \omega \in \{\tau<\infty\}$$

y por lo tanto concluimos a partir de (4) que

$$\mathbb{P}(\tau<\infty) \leq \phi(\lambda)<1$$

lo cual es equivalente a decir que

$$\mathbb{P}(\tau=\infty)>0.$$

Observación: En la prueba anterior, se necesitan condiciones de integrabilidad en los incrementos $X_i$ por dos razones:

• para aplicar el teorema de Chung Fuchs
• para saber que la función generadora de momentos $\phi$ es finita para $\lambda \in [0,\lambda_0]$ para algún $\lambda_0>0$.

En particular, podemos debilitar la suposición $(1)$; es suficiente asumir que $\mathbb{E}(|X_1|)<\infty$ y que la parte negativa de $X_1$ tiene ciertos momentos exponenciales.