¿Cuáles son los semi-normas en $M_n(\mathbb C)$ tal que $\| AB\| = \| BA\|$, para todos los $A$$B$?

Question

¿Cuáles son los semi-normas en $M_n(\mathbb C)$ tal que $\| AB\| = \| BA\|$, para todos los $A$ $B$ en $M_n(\mathbb C)$, $n ≥ 2$?

Me encontré con este ejercicio (un ejercicio oral), y he pensado en esto : hay un semi-norma que respete la matriz similitary?

¿Tienes otra idea para resolver este problema? No parece muy natural para pensar directamente de similitary y no permiten concluir al parecer: ¿son estas las únicas semi-normas?

Answer 1

En primer lugar, $\|E_{ij}\|=0$ siempre $i\ne j$ porque $$ \pmatrix{1&0\\ 0&0}\pmatrix{0&1\\ 0&0}=\pmatrix{0&1\\ 0&0} \text{ y } \pmatrix{0&1\\ 0&0}\pmatrix{1&0\\ 0&0}=0. $$ De ello se desprende que $\|F\|=0$ para cualquier matriz $F$ con un cero en la diagonal.

En segundo lugar, $\|E_{ii}-E_{i+1,\,i+1}\|=0$ $i=1,2,\ldots,n-1$ porque \begin{align} \left\|\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\right\| &=\left\|\frac12\pmatrix{1&1\\ -1&1}\pmatrix{1&1\\ 1&-1}\right\|\\ &=\left\|\frac12\pmatrix{1&1\\ 1&-1}\pmatrix{1&1\\ -1&1}\right\|\\ &=\left\|\pmatrix{0&1\\ 1&0}\right\|\\ &=0\text{ (because the matrix has a zero diagonal)}. \end{align} De ello se desprende que $\|T\|=0$ siempre $T$ es un traceless diagonal de la matriz, debido a que $T$ es una combinación lineal de $E_{ii}-E_{i+1,\,i+1},\ i\in\{1,2,\ldots,n-1\}$. (En realidad, hemos utilizado la similitud en el anterior, es decir, cada traceless matriz es similar a un cero de la diagonal de la matriz, pero dicho uso, al menos, no es explícito.)

Ahora, para cualquier matriz $A$, vamos a $c=\frac{\operatorname{tr}(A)}{n}$. A continuación, $A$ puede ser dividida en una suma de la forma $cI+T+F$ donde $F$ es la parte diagonal de $A$ $T$ es un traceless matriz diagonal. Por lo tanto $$ \|\|=\|CI+T+F\|\le\|cI\|+\|T\|+\|F\|=\|cI\| $$ y $$ \|cI\|=\|F\|\le\|\|+\|T\|+\|F\|=\|\|, $$ lo que significa que $\|A\|=\|cI\|=\left|\frac{\operatorname{tr}(A)}{n}\right|\|I\|$. En otras palabras, $\|\cdot\|$ debe ser un escalar varios absoluta de la matriz de seguimiento.