La motivación para transformaciones lineales

Question

A veces me odio a las clases para los matemáticos. No es su precisión y formalidad en la construcción de los conceptos, pero nunca dan una motivación.

Así, en el curso de mi profesor comenzó con la definición de espacio vectorial, suponiendo que supongo que todo el mundo sabe lo que está hablando. Así, la lectura de algunos libros para principiantes como yo me he dado cuenta de que los espacios vectoriales son en realidad una generalización de trabajar con las propiedades de la Euclídea espacios.

Ahora el tema es acerca de las transformaciones lineales. Entiendo que la definición, son casos especiales de las asignaciones. Bueno, la cosa es que no sé por qué la definición tiene que ser así, ¿cuál es la verdadera motivación de esta definición?. lo que está detrás de el significado de 'lineal'? Mi primera impresión es que quizás tiene algo que ver sólo con la preservación de las operaciones de vectores, aunque no sé por qué. Lo que hace transformaciones lineales a ser especial en comparación con aquellos que no son lineales?

Lo siento por esta pregunta, tal vez es demasiado ingenuo, pero es realmente importante para mí.

Answer 1

Espacios vectoriales, como usted bien dice, son generalizaciones de Euclídea espacios, en particular la estructura de líneas, planos y hyper planos en el espacio Euclidiano.

Ahora, la definición de espacio vectorial es en realidad un axiomatization de algunas de las propiedades de la Euclídea espacios. Ahora, una vez que la noción abstracta de espacio vectorial es uno comienza a darse cuenta de que muchas cosas que antes no parecen tener mucho que ver con Euclidiana espacios son en realidad espacios vectoriales (por ejemplo, los espacios de funciones, espacios de polinomios, espacios de soluciones a ecuaciones lineales, espacios de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales, etc.).

Con tantos ejemplos de espacios vectoriales su estudio está bien motivado. Ahora, una vez que usted tiene dos espacios vectoriales $V,W$ es una pregunta natural para entender cómo se relacionan unos con otros. Desde espacios vectoriales son conjuntos con extra estructura es más natural para considerar cómo los conjuntos de relacionarse cuando la extra estructura se conserva. Una manera de relacionar los conjuntos es por la función $f:V\to W$. Pero no queremos que cualquier función, pero sólo aquellos que respetan el extra de la estructura. Por lo que exigimos que el $f(u+v)=f(u)+f(v)$ y $f(\alpha v)=\alpha f(v)$. Y listo, ahí tienes transformaciones lineales motivado - usted simplemente quiere estudiar no sólo un determinado espacio vectorial en forma aislada, sino cómo los diferentes espacios vectoriales se relacionan.

Como para llamarlos transformaciones lineales, esto es un poco por razones históricas. Pero básicamente, transformaciones lineales puede ser demostrado ser precisamente aquellas que preservan todos los lineales de las entidades del dominio. Por lineal de las entidades de pensar de líneas, planos y hyperplanes. Así, tal lineal entidades en el ámbito de la transformación lineal que serán asignados a tales lineal entidades en el codominio.

Answer 2

Puedo hacer una lista de dos razones importantes transformaciones lineales son importantes.

1. Se muestran todas partes. Por ejemplo, la operación de tomar la derivada es una operación lineal del espacio vectorial de los polinomios. Proyecciones, shearings, cambios de escala, y así sucesivamente, también son ejemplos de transformaciones lineales.
2. Son extremadamente fáciles de describir. Si usted tiene una transformación lineal $T:V \to W$, entonces si sabes lo que pasa con los vectores de la base $\{ e_i \}$$V$, entonces usted sabe lo que sucede a cada vector en $V$! Esto hace transformaciones lineales muy fácil de describir: se lo puede describir en su totalidad por su matriz (una vez que haya elegido una base para $V$$W$).

Answer 3

De acuerdo con la mayoría de las respuestas aquí. Sin embargo, ninguno de aquellos intento de realmente hacer explícita la importancia de las transformaciones lineales, y por qué tenemos realmente necesidad de ellos . Aquí está mi intento.

En la mayoría de los sistemas, queremos estudiar el efecto que el sistema tiene en sus entradas. Por ejemplo, un ingeniero acústico posible que desee estudiar el efecto de la atenuación por el aire en ondas de sonido. En este caso, las ondas de sonido a la entrada y el aire en la propagación de volumen actúa como un sistema que los impactos de las olas. Ahora, estos sistemas suelen ser complejos para describir. Linealización es una primera aproximación a la descripción de estos sistemas. En muchos casos, estas aproximaciones son justificados como los efectos no lineales no son muy pronunciadas, o puede ser muy pequeña para la mayoría de la gama de entrada.

Las entradas también se pueden aproximar como una superposición lineal de señales (para más información, mira la transformada de Fourier). En particular, se intenta aproximar la señal de entrada como una superposición de ciertos base a las señales de entrada (preferiblemente una base ortogonal). Usted podría haber visto como un conjunto de base mientras se trabaja con vectores 2D en la física. Las i y j de la unidad de ejes que se utilizan para describir cualquier vector 2D es un ejemplo de una base ortogonal.

Esto ayuda mucho porque ahora podemos descomponer cualquier señal en una combinación lineal de las señales. Y por la propiedad de superposición, el efecto del sistema (transformación lineal) en la señal de entrada puede ser calculado como una combinación lineal de los efectos del sistema sobre la base de las señales. Por lo tanto, el uso de los sistemas lineales teoría, podemos describir el efecto de cualquier sistema en cualquier señal de tan largo como sabemos el efecto del sistema sobre la base de las señales.

Answer 4

Añadir a Frederik de la respuesta, moderna álgebra lineal evolucionado tratando de formalizar el estudio de sistemas de ecuaciones lineales $Ax=b$, los cuales son extremadamente importantes en cualquier cuantitativos de la ciencia. El concepto de transformación lineal surge de forma natural en este formalismo. Por ejemplo, el sistema lineal $Ax=b$ puede ser interpretado como $x$ pasa a través de la transformación lineal $A$ rendimientos $b$.