¿Cómo puedo calcular el número de permutaciones de un cubo de rubik irregular?

Question

Hace poco hice un cubo de Rubik de 1x2x3 _(ejemplo aquí )_ para mi hermano pequeño, pensando que el número de permutaciones posibles del cubo sería lo suficientemente pequeño como para que pudiera resolverlo simplemente girando al azar. Efectivamente, puede (como cualquier otro). Sin embargo, quería saber el número exacto de permutaciones posibles que puede tener este pequeño cuboide, y una extensa búsqueda en Internet no me reveló nada. Encontré sitios capaces de darme el número de permutaciones de cualquier cubo de Rubik regular (nxnxn), pero no me dieron la fórmula utilizada ni ninguna información sobre los cuboides irregulares. Entonces, ¿qué fórmula puedo utilizar para calcular el número de permutaciones posibles de cualquier cubo irregular, y más concretamente del 1x2x3?

Además, perdone el carácter elemental de esta pregunta. Mientras que la mayoría de los matemáticos probablemente encontrarían este problema de combinatoria simple, nunca he estudiado la probabilidad y no puedo encontrar una solución simple a esto en línea; por lo tanto, consideré esta pregunta pertinente a Math SE.

Answer 1

Suponiendo que sólo se completa $180^\circ$ se permiten giros, la respuesta es $48$ . He aquí un intento de solución intuitiva.

Podemos girar la pareja de cubos de la izquierda, la pareja de la derecha, el trío de arriba o el trío de abajo. Obsérvese que los dos últimos movimientos son (para nuestros fines) los mismos. Así que podemos decir que sólo hay realmente tres movimientos legales, todos los cuales son sus propios inversos.

Imagina que pegas el centro de la base a un pedestal. Ahora sólo se mueven cinco cubos, y el que está arriba en el centro sólo puede girar $180^\circ$ en su lugar. Esto deja cuatro cubos exteriores que pueden cambiar de lugar. Al etiquetarlos como 1,2,3,4 podemos pensar en ellos como si estuvieran uno al lado del otro en una línea, de modo que los pares (1,2), (2,3) y (3,4) comienzan como vecinos.

Cada uno de los tres movimientos legales intercambia dos cubos vecinos. La rotación del trío de arriba también tiene el efecto de girar el cubo superior del medio en $180^\circ$ .

Así, las tres jugadas legales pueden expresarse como las transposiciones $(1,2), (2,3)$ y $(3,4)$ , que bastan para generar cualquier permutación de $(1,2,3,4)$ . Esto significa que las posiciones de los cuatro cubos exteriores pueden permutarse libremente. Debido a la linealidad, y al hecho de que sólo los cubos "vecinos" se mueven simultáneamente, hay efectivamente sólo una secuencia de movimientos a través del espacio que cualquiera de estos cuatro cubos puede tomar de un lugar a otro, por lo que la orientación de cada cubo exterior está determinada por su ubicación. Esto da como resultado $4!=24$ permutaciones de los cubos numerados.

Sin embargo, es posible voltear el cubo central superior mientras se devuelven los cubos exteriores a sus posiciones iniciales. La secuencia arriba, izquierda, arriba, izquierda, arriba, izquierda hace esto. La consecuencia es que en realidad hay $4!\cdot 2=48$ permutaciones.

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Parte II. Como extensión, consideremos una versión del juguete en la que podemos girar el trío superior $90^\circ$ y luego girar los cubos exteriores individuales en esa posición intermedia. Si sólo nos interesan las posiciones finales de los cubos, la situación es ligeramente distinta.

En primer lugar, observe que si gira la parte superior $90^\circ$ y luego girar por separado los cubos 2 y 3 en el nivel inferior para crear una cruz, entonces se hace posible girar el cubo central superior libremente. En segundo lugar, si en lugar de ello se rotan los cubos 1 y 4 al nivel superior, y luego se rota la cruz superior, es posible restaurar la forma del cubo mientras se revelan las caras no pintadas del cubo fijo de la parte inferior. En tercer lugar, el hecho de que el restablecimiento de la forma del cubo deba ocultar las caras sin pintar de los cubos exteriores garantiza que su orientación siga estando determinada efectivamente por su ubicación con respecto al resto del cubo.

Así, los cubos exteriores se siguen permutando de forma sencilla; el cubo fijo puede mostrar sus caras verticales sin pintar o pintadas (oeste-este o norte-sur, digamos); y el cubo central superior puede mostrar cualquier cara vertical en la parte delantera (sur u oeste, digamos); pero es posible que no podamos distinguir las caras sin pintar que aparecen juntas, y esto añade complicaciones. Si podemos distinguir las caras no pintadas, el resultado es $4!\cdot 8=192$ permutaciones.

Ahora bien, ¿qué ocurre si sólo nos interesa el patrón de colores, y consideramos que las caras no pintadas son del mismo color? En $96$ permutaciones, el cubo fijo muestra sus lados pintados; en la mitad de ellas, el cubo central superior muestra sus lados pintados, y en la otra mitad, sus lados sin pintar. En las otras $96$ permutaciones, el cubo fijo muestra sus lados sin pintar; en la mitad de ellas, el cubo central superior muestra sus lados pintados, y en la otra mitad, sus lados sin pintar. Debido a las simetrías ya encontradas, podemos sumar $48(1+\tfrac12+\tfrac12+\tfrac14)$ $=48+24+24+12$ para conseguir $108$ diferentes patrones de color.