Encontrar el límite de la integral

Question

Deje $f$ ser continua en [0, 1]. Suponga $$0 < a < b$$

Demostrar que el siguiente límite existe y determinar lo que es:

$$\lim_{\delta\rightarrow 0}\int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x} dx$$

Me he quedado prendado de esta pregunta y me parece que no puede averiguar. A mí me parece que no hay razón para que este límite a existir siempre. Por ejemplo, si tomo

$$f(x) = 1$$

La integral de la función armónica diverge cerca de 0, así que por Cauchy del critrion, el límite no existe.

Entonces, ¿qué me estoy perdiendo? ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Se puede predecir que el límite es de $f(0) \ln(b/a)$ mediante la observación de que para lo suficientemente pequeño $\delta$, por la continuidad de $f$,

$$\int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x}dx \approx \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(0)}{x}dx$$

Para demostrarlo, tenga en cuenta que

$$\left| \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x} dx - f(0)\ln\frac{b}{a} \right| = \left| \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x} dx - f(0) \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{dx}{x} \right| = \left| \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x) - f(0)}{x} dx \right| \le \int_{\delta a}^{\delta b} \left|\frac{f(x) - f(0)}{x}\right| dx$$

Deje $\epsilon > 0$. Desde $f$ es continuo, no es $\alpha > 0$ tal que $0 < x < \alpha \implies |f(x) - f(0)| < \epsilon'$ donde $$\epsilon' = \frac1{\ln \frac{b}{a}} \epsilon$$

Deje $$\delta_0 = \frac{\alpha}{b}$$

Deje $\delta < \delta_0$. Para$x < \delta b$,$x < \alpha$, lo $|f(x) - f(0)| < \epsilon'$. Por lo tanto, después de la anterior serie de desigualdades,

$$\left| \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x} dx - f(0)\ln\frac{b}{a} \right| < \epsilon' \int_{\delta a}^{\delta b} \frac{dx}{x} = \epsilon$$

Así que hemos terminado.

Answer 2

Sugerencia:

Por la integral MVT, existe $\xi \in (\delta a, \delta b)$ tal que $\xi \to 0$ $\delta \to 0$ y

$$\int_{\delta a}^{\delta b} \frac{f(x)}{x} \, dx = f(\xi)\log \frac{\delta b}{\delta a} $$

Answer 3

Hacer un cambio de variables mediante el establecimiento $y = \frac{x}{\delta}$. A continuación,$y \in [a,b]$$dx = \delta dy$. Por lo tanto

$$ \int_{\delta}^{\delta b } \frac{f(x) }{x} dx = \int_{a}^b \frac{f(\delta y)} de{y} dy \a f(0) \int_a^b \frac{dy}{y} = f(0) \ln \frac{b}{a}, $$ cuando usted necesita para utilizar la continuidad de $f$ a demostrar que el paso al límite.