Si $|a_1|>1$ , entonces la serie $\sum\frac{a_1^n+\cdots+a_k^n}{n}$ diverge

Question

Dejemos que $a_1,...,a_k$ sean números complejos diferentes de $1$ . Intento demostrar que si al menos uno de ellos tiene un módulo estrictamente mayor que $1$ , digamos que $|a_1|>1$ , entonces la serie $\displaystyle\sum\frac{a_1^n+\cdots+a_k^n}{n}$ diverge.

He intentado demostrar que $\dfrac{a_1^n+\cdots+a_k^n}{n}$ no converge a $0$ como debería para que la serie converja, y para ello lo he reescrito como

$$ \frac{|a_1^k+\cdots+a_n^k|}{k}= \frac{|a_1|^k}{k}\Big|1+\Big(\frac{a_2}{a_1}\Big)^k +\cdots+\Big(\frac{a_n}{a_1}\Big)^k\Big| $$ Por lo tanto, tengo que demostrar que la suma después de la $1+\cdots,\,$ no converge a $-1$ pero parece que no puedo hacerlo.

Answer 1

Supongamos que la serie es convergente. Entonces la serie de potencias $$ f(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_1^k+\cdots + a_n^k}k z^k $$ es válido en $D=\{z: |z|<1\}$ .

Por diferenciación, tenemos $$ f'(z)=\sum_{k=1}^{\infty} (a_1^k + \cdots + a_n^k)z^{k-1}$$ es válido en $D$ .

Además, la serie del lado derecho es igual a $$\frac{a_1}{1-a_1z} + \cdots +\frac{a_n}{1-a_n z} $$ en $|z|<\min \{1/|a_i| : 1\leq i\leq n\}<1$ ya que cada término es una serie geométrica.

Esta función tiene un polo en $1/a_1$ que está dentro de $D$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, la serie debe ser divergente.

Answer 2

Demostraremos que, si al menos uno de $|a_1|,\ldots,|a_k|$ es mayor que uno, entonces la secuencia $\displaystyle b_n=\frac{1}{n}(a_1^n+\cdots+a_k^n)$ no está acotado, y por tanto $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(a_1^n+\cdots+a_k^n)$ diverge.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $$ |a_1|=\cdots=|a_m|=r>s=|a_{m+1}|\ge |a_{m+2}|\ge\cdots\ge|a_k|, $$ donde $r>1$ .

Utilizaremos el siguiente lema (su demostración se pospone).

Lema. Si $w_1,\ldots,w_m\in \mathbb C$ con $|w_1|=\cdots=|w_m|=1$ , entonces la secuencia $z_n=w_1^n+\cdots+w_m^n$ no tiende a cero. Por lo tanto, existe un $\eta>0$ , de tal manera que $|z_n|\ge \eta$ para un número infinito de $n$ 's.

Por lo tanto, el establecimiento de $a_1=rw_1,\ldots,a_m=rw_m$ entonces el lema establece que existe un $\eta>0$ e infinitas $n$ de tal manera que $$ |a_1^n+\cdots+a_m^n|=r^n|w_1^n+\cdots+w_m^n|\ge \eta r^n, $$ y por lo tanto $z_n$ no tiene límites ya que, para un número infinito de $n$ 's $$ |a_1^n+\cdots+a_k^n|\ge |a_1^n+\cdots+a_m^n|-|a_{m+1}^n+\cdots+a_k^n|\ge r^n|w_1^n+\cdots+w_m^n|-(k-m)s^n \\\ge \eta r^n-(k-m)s^n=\eta r^n \left(1-\frac{k-m}{\eta}\Big(\frac{s}{r}\Big)^n\right)>\frac{\eta}{2}r^n, $$ donde la última desigualdad se mantiene para un tamaño suficientemente grande $n$ , como $s/r<1$ .

Prueba del lema. Supongamos que $z_n\to 0$ , como $n\to\infty$ . Los términos $w_1,\ldots,w_k$ no tienen que ser diferentes. Digamos que sólo hay $\ell$ diferentes números complejos es el conjunto $\{w_1,\ldots,w_k\}$ sin pérdida de generalidad el $w_1,\ldots,w_\ell$ son diferentes entre sí y aparecen $j_1,\ldots,j_\ell$ veces, respectivamente (con $j_1+\cdots+j_\ell=k$ ). Tenemos $$ j_1w_1^n+\cdots+j_\ell w_\ell^n=z_n,\\ w_1 j_1w_1^n+\cdots+w_\ell j_\ell w_\ell^n=z_{n+1},\\ \cdots\\ w_1^{\ell-1} j_1w_1^n+\cdots+w_\ell^{\ell-1} j_\ell w_\ell^n=z_{n+\ell-1}. $$ Lo anterior se ve como una $\ell\times\ell$ sistema lineal con incógnitas el $j_1 w_1^n,\ldots,j_\ell w_\ell^n$ y la matriz del sistema $A=(w_i^{j-1})_{i,j=1,\ldots,\ell}$ es el Matriz de Vandermonde que es invertible, ya que el $w_1,\ldots,w_\ell$ son diferentes entre sí. Por lo tanto, $$ (j_1w_1^n,\ldots,j_\ell w_\ell^n)^T=A^{-1}(z_n,\ldots,z_{n+\ell-1})^T. $$ Por lo tanto, si $z_n\to 0$ entonces también lo hace el lado derecho de lo anterior, y por lo tanto el lado izquierdo de lo anterior. Pero $j_i|w_i|^n=j_i\ne 0$ para todos $i=1,\ldots,\ell$ . Contradicción. Con esto concluye la demostración del lema.