¿Es verdadera la disyunción de estas dos afirmaciones falsas?

Question

Dejemos que $\mathcal{L}$ sea el sistema formal de cálculo de enunciados. Sea $A$ sea una fórmula de $\mathcal{L}$ . Entonces cada una de las tres fórmulas \begin{gather*} A \vee (\sim A) \\ A \implies [(\sim A) \implies A] \\ (\sim A) \implies [A \implies (\sim A)] \\ \end{gather*} es un teorema de $\mathcal{L}$ . Por análisis de casos, $$[(\sim A) \implies A] \vee [A \implies (\sim A)]$$ es un teorema de $\mathcal{L}$ . Pero esto parece intuitivamente incorrecto.

Por ejemplo, cada una de las declaraciones \begin{gather*} (\forall x \in \mathbb{N})[(x < 3) \implies (x \ge 3)]\\ (\forall x \in \mathbb{N})[(x \ge 3) \implies (x < 3)] \end{gather*} es falso. Sin embargo, la disyunción de estas dos afirmaciones es verdadera, por el argumento anterior.

Editar. Creo que el ejemplo no fue muy bueno.

Supongamos que lanzas una moneda. Es una moneda justa y no puede ponerse de pie por su lado. Cae a tus pies sobre una superficie sólida y plana.

Dejemos que $A$ sea la afirmación de que la moneda sale cara. Entonces $(\sim A)$ es la afirmación de que la moneda muestra cruz. La afirmación \begin{gather*} \text{"if the coin shows heads, then it shows tails,}\\ \text{or}\\ \text{if the coin shows tails, then it shows heads"} \end{gather*} es verdadera, aunque ambos disyuntos sean falsos.

Tal vez esta pregunta ya no pertenezca a math.stackexchange.com .

Answer 1

$$ (\forall x \in \mathbb{N})[x < 3 \implies x \ge 3] \lor (\forall x \in \mathbb{N})[x \ge 3 \implies x < 3] $$ no es cierto, y su análisis no implica que deba serlo.

Lo que es cierto según su argumento es $$ (\forall x \in \mathbb{N})\bigl[(x < 3 \implies x \ge 3) \lor (x \ge 3 \implies x < 3)\bigr] $$ pero no puedes mover los cuantificadores en medio de su estructura y esperar que permanezca en Es cierto.

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En general, $(A\to B)\lor(B\to A)$ es siempre verdadera en la lógica clásica, sin importar si $A$ y $B$ son negaciones unas de otras o no. Tal vez sea aún más desafiante para la intuición, $(A\to B)\lor(B\to C)$ también es siempre cierto.

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Respuesta a la edición: Creo que te están confundiendo dos usos diferentes de "si... entonces" en inglés matemático.

1. Por un lado en inglés matemático casual no formal "si sale cara, sale cruz" significaría algo así como

   En cada situación relevante donde sale cara, también sale cruz.

   (y uno espera entonces que el contexto deje claro qué situaciones son "relevantes").

2. Por otro lado, en la lógica formal (clásica), la fórmula " ${\rm heads}\Rightarrow{\rm tails}$ " significa

   En la situación particular que estamos viendo Es decir, es no el caso de que sea cara pero no sea cruz.

   Que es lo mismo que decir

   La situación particular que estamos viendo no es un contraejemplo del sentido (1).

La confusión llega porque " ${\rm heads}\Rightarrow{\rm tails}$ " es a menudo se pronuncia "si sale cara entonces sale cruz", como si su significado fuera el mismo que en (1), pero no es cuando se trata de fórmulas.

El sentido en el que se puede demostrar que $(A\Rightarrow \neg A)\lor(\neg A\Rightarrow A)$ es verdadera es (2) y sólo (2). Deja de ser cierto si se intenta reinterpretar el $\Rightarrow$ s como si quisieran decir (1).

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Además parece que también te confundes por la diferencia entre "es verdadero" y "tiene una prueba" cuando dices que "esto o aquello" es verdadero pero "esto" y "aquello" son ambos falsos.

Lo que quiere decir aquí es que cree que tiene una prueba de "esto o aquello". Pero está claro que no es verdadero porque el definición de "o" es que "esto o aquello" es verdadero exactamente cuando al menos uno de "esto" y "aquello" es verdadero -- y usted acaba de argumentar que ambos son falso .

Así que cuando preguntes,

¿Cómo es posible que "esto" sea falso y "aquello" sea falso y "esto o aquello" sea verdadero?

la respuesta es que no pueden y que te equivocas en al menos una de esas partes. Lo mismo que si tienes una prueba aparente que concluye $2+2=3$ No deberías preguntarte "¿por qué? $2+2$ no $4$ ?" sino "¿qué pasa con esta cosa que parece una prueba pero que obviamente no puede serlo?"

Answer 2

Para cualquier $x$ tienes el esquema: $\phi(x)\vee\psi(x)$

$$(A(x)\to\neg A(x))~\vee~(\neg A(x)\to A(x))$$

Esto no sugiere que: $(\forall x~\phi(x))~\vee~(\forall x~\psi(x))$ .

Lo que significa el esquema es que: $\forall x~(\phi(x)\vee\psi(x))$ .

$$\forall x~[(A(x)\to\neg A(x))\vee(\neg A(x)\to A(x))]$$

En resumen, el esquema debe aplicarse siempre a la misma entidad.   El cuantificador universal no distribuirá sobre la disyunción.

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Entonces la afirmación "si la moneda sale cara, entonces sale cruz, o si la moneda sale cruz, entonces sale cara" es verdadera, aunque ambos disyuntos sean falsos.

Oh, no, descubrirás que no son ambos falsos; uno de ellos será siempre verdadero.   Veamos más de cerca.

Bien, acabo de lanzar una moneda y sale cruz.   Por lo tanto, puedo afirmar que "Si este la moneda sale cara, luego sale cruz".   Que La afirmación condicional material se considera verdadera (ya que la el antecedente es falso ).

Bien, acabo de lanzar varias monedas más y ahora una muestra cara.   Ahora puedo afirmar que "Si este la moneda muestra la cola, entonces muestra la cara", porque ahora que El enunciado condicional material es el que se mantiene como verdadero.

Así que, sea cual sea el lanzamiento de la moneda, si sale cara o cruz, entonces un de los dos enunciados condicionales se cumplirá. (De hecho, seulement una será válida para cualquier lanzamiento de moneda).

Answer 3

Tal vez lo que es contraintuitivo es el hecho de que siempre que $A$ es falso, entonces $A\Rightarrow B$ es verdadera, basándose en cómo se define la implicación lógica: $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\Rightarrow B \\ \hline {\bf F} & F & {\bf T}\\ {\bf F} & T & {\bf T}\\ T & F & F\\ T & T & T\\ \hline \end{array} $$

Aplicado al ejemplo de la moneda:

if the coin shows heads, then it shows tails
                     or
if the coin shows tails, then it shows heads

Digamos que se lanza una moneda y sale cara.

Entonces la siguiente afirmación es falsa:

the coin shows tails

y por lo tanto la segunda mitad de la disyunción es verdadera:

if the coin shows tails, then it shows heads

por lo que toda la disyunción es verdadera.

Del mismo modo, si se muestran las colas.

Answer 4

La declaración $$(x<3)\to (x\ge 3)$$ no es una contradicción, es decir, no es SIEMPRE falsa. Sólo es falsa para $x<3$ . Si $x\ge 3$ Entonces es una verdad vacía. Contiene una variable libre, por lo que no podemos decir que sea falsa.

Las implicaciones confunden la cuestión. Considere la declaración $x<3$ solo. No es necesariamente cierto. Además, la afirmación $x\ge 3$ no es necesariamente cierto. Pero su disyunción es verdadera.

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La edición del OP no hace ninguna diferencia. Lo que parece confundir al OP (y confunde a muchos estudiantes de matemáticas) es que $p\to q$ es verdadera cuando $p$ es falso. Lo que encuentro de ayuda es el teorema de que $p\to q$ equivale a $q\vee \neg p$ .

Answer 5

La cuestión es que el cuantificador universal no distribuye sobre la disyunción. En su lugar, considere el enunciado

$\forall_{x \in \mathbb{N}}((x \lt 3 \rightarrow x \geq 3) \vee (x \geq 3 \rightarrow x \lt 3))$

Esta afirmación es verdadera, por el argumento proposicional que has dado.