Podemos usar la lógica interna de una categoría a hacer el diagrama de rozas ", como en la $\mathbf{Ab}$" ?

Question

Descargo de responsabilidad: todavía no estoy muy cómodo con el interior de la lógica, a pesar de que sé lo básico, así que la mejor respuesta no sería el más técnico.

Supongamos que usted desea probar un diagrama de lema (dicen que el lema de la serpiente, por ejemplo) en una arbitraria abelian categoría. Como muchos autores muestran, uno puede hacer esto en un puramente "de manera categórica", obviamente los elementos libres. Creo que hay una prueba en McLane, por ejemplo.

También puede utilizar Mitchell incrustación teorema: como el diagrama es pequeña, la abelian categoría generado por ella es pequeña (puede ser construido en $\omega$ pasos), y uno puede entonces completamente, fielmente, exactamente incrustarlo en una categoría de $R$-módulos para algunas módulo de $R$ , y el uso del lexema en cuestión en esta categoría (para obtener la conexión de morfismos por ejemplo, en el lema de la serpiente), y, a continuación, volver a su categoría, y las propiedades de la incrustación implica lo que usted desea.

Por supuesto, en las categorías de $R$-módulos, se le permite a la razón, como "let' $x$ ser tal que $f(x)=0$. A continuación,$x\in Ker(f)= Im(g)$, por lo que no es $y$ tal que blabla", lo que hace que las pruebas (por lo general) un poco más fácil.

Mi pregunta es si se puede utilizar la lógica interna de la categoría a la razón exactamente como en la $R$-módulo de caso, como siempre que no vaya más allá de la lógica que tenemos a la mano. Por ejemplo, regular la lógica tiene un cuantificador existencial, y así quizás $f(x)=0\vdash_x \exists y, g(y) = x$ es válido en un abelian categoría donde tenemos una secuencia exacta $A\to B \to C$ (que es una parte estoy seguro acerca de) y tal vez podríamos razón, como de costumbre (aunque con un "restringida" de la lógica) para demostrar algunos resultados sobre arbitraria abelian categorías. Es el caso ? Es allí una manera de utilizar la lógica interna para construir la conexión de morfismos en el lema de la serpiente, por ejemplo ?

Para otro ejemplo: ¿se puede demostrar, mediante la lógica interna, que en los cinco lema, el medio de morfismos es "inyectiva" ($f(x)=f(y)\vdash_{x,y} x=y$) y "surjective" ($\vdash_{y} \exists x, f(x)=y$) y de alguna manera eso implicaría que es mono y epi, y por lo tanto (en un abelian categoría) iso ? (Yo no soy de escribir la sequents, aunque, por supuesto, que debo)

Así que para resumir,

Hay una manera en la que el razonamiento con la lógica interna de un abelian categoría puede ayudarnos a probar cosas (tales como el diagrama de lemas) en los que, tanto como los que tenemos en el "ordinario" (es decir,$R-\mathbf{Mod}, \mathbf{Ab}$) ?

Answer 1

Este MathOverflow pregunta y respuesta y la referencia a las diapositivas y los comentarios tanto por Ingo Blechschmidt parecen destinadas directamente a su pregunta. Véase también el nLab página sobre diagrama de perseguir cuya sección de diagrama de perseguir en abelian categorías aborda el enfoque que usted está considerando. Lo que se sugiere es el cuarto enfoque. Para sus propósitos, es posible que desee ver en los otros enfoques mencionados, así como los dos elementos de una abelian categoría enfoques.

Por lo que puedo deducir de lo anterior, el "obvio" enfoque funciona. Básicamente, un abelian categoría es una categoría regular, por lo que definitivamente puede interpretar regular la lógica. Se puede entonces afirmar la existencia de un grupo abelian estructura de cada clase/tipo, es decir, $\cfrac{\Gamma\vdash t_1:B\qquad \Gamma\vdash t_2:B}{\Gamma\vdash t_1+t_2 : B}$ y así sucesivamente. El mencionado "axioma de opción única", true en cualquier lex categoría, los estados que morfismos son equivalentes al total de las relaciones funcionales en la lógica interna. Con la salvedad de que requieren lógica constructiva, puede utilizar ordinario elemento de razonamiento sensato en este idioma y el resultado será verdadero en cualquier abelian categoría.

Comenzando con un regular de la lógica y, a continuación, afirmar que cada especie tiene un abelian estructura de grupo, esencialmente, debe darle el lenguaje interno regular de una categoría de aditivo. Sin embargo, un abelian categoría es precisamente una exacta categoría de aditivo. Categorías regulares y exactos categorías están íntimamente relacionados. Categoría regular dice que todas las congruencias de la forma $\Gamma,x:A,y:A\vdash f(x)=f(y)$ para cualquier morfismos $f$ tienen cocientes, es decir, coequalizers de los dos componentes de $\{\langle x,y\rangle\in A\times A\mid f(x)=f(y)\}\rightarrowtail A\times A$. Esta es exactamente la imagen de $f$. Exacto categoría de estados que cada congruencia es de la forma anterior para algunos $f$. (En particular, para el cociente de mapa de $q:A\to A/{\sim}$.)

Sólo estoy haciendo esto y la aplicación de parches cosas juntos, así que toma todo esto con un gran grano de sal, pero la combinación de la presentación periódica de un tipo de teoría, con la eficaz cocientes en Maria Maietti del Modular de la correspondencia entre los dependientes del tipo de teorías y categorías, incluyendo pretopoi y topoi debe dar una caracterización de exactitud. A continuación, añadir el aditivo de la estructura del grupo debe dar un tipo de teoría compatible con abelian categorías. Me adapto Maietti de la presentación de la notationally. Voy a usar las $\Gamma\vdash T\ \mathsf{prop}$ a la media de$\Gamma\vdash T\ \mathsf{type}$$\Gamma,x:T,y:T\vdash x=y:T$, es decir, que $T$ es un mono tipo. Términos de mono corresponden los tipos de subobjetos. Como otro de taquigrafía, voy a escribir $\Gamma\vdash T$ al $T$ es un monotipo a decir $\Gamma\vdash c:T$ donde $c$ es cualquier término de tipo de $T$ alcance (que son necesariamente iguales). Estoy omitiendo el habitual estructural de las reglas y las normas para la igualdad.

Terminal de objeto: $$\cfrac{}{\Gamma\vdash\top\ \mathsf{tipo}}\top F\qquad\cfrac{}{\Gamma\vdash\estrella:\top}\top I \qquad\cfrac{\Gamma\vdash t:\top}{\Gamma\vdash t = \estrella:\top}\top\beta$$

Dependiente de la suma (y por lo tanto finito productos): $$\cfrac{\Gamma,x:B\vdash C(x)\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash\Sigma x:B.C(x)\ \mathsf{type}}\Sigma F\qquad\cfrac{\Gamma\vdash b:B\qquad\Gamma\vdash c:C(b)\qquad\Sigma x:B.C(x)\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash\langle b,c\rangle:\Sigma x:B.C(x)}\Sigma I$$

$$\cfrac{\Gamma,z:\Sigma x:B.C(x)\vdash M(z)\ \mathsf{type}\qquad \Gamma\vdash d:\Sigma x:B.C(x)\qquad\Gamma,x:B,y:C(x)\vdash m(x,y):M(\langle x,y\rangle)}{\Gamma\vdash\mathsf{elim}_\Sigma(d,x,y.m(x,y)):M(d)}\Sigma E$$

$$\cfrac{\Gamma,z:\Sigma x:B.C(x)\vdash M(z)\ \mathsf{type}\qquad \Gamma\vdash b:B\qquad \Gamma\vdash c:C(b)\qquad\Gamma,x:B,y:C(x)\vdash m(x,y):M(\langle x,y\rangle)}{\Gamma\vdash\mathsf{elim}_\Sigma(\langle b,c\rangle, x,y.m(x,y))=m(b,c):M(\langle b,c\rangle)}\Sigma\beta$$

Extensional igualdad de tipo (y por lo tanto pullbacks dado el dependiente de la suma): $$\cfrac{\Gamma\vdash C\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash c:C\qquad\Gamma\vdash d:C}{\Gamma\vdash\mathsf{Eq}(C,c,d)\ \mathsf{type}}\mathsf{Eq}F\qquad\cfrac{\Gamma\vdash c:C}{\Gamma\vdash\mathsf{refl}_C(c):\mathsf{Eq}(C,c,c)}\mathsf{Eq}I$$

$$\cfrac{\Gamma\vdash p:\mathsf{Eq}(C,c,d)}{\Gamma\vdash c=d:C}\mathsf{Eq}E\qquad\cfrac{\Gamma\vdash p:\mathsf{Eq}(C,c,d)}{\Gamma\vdash p=\mathsf{refl}_C(c):\mathsf{Eq}(C,c,d)}\mathsf{Eq}\beta$$

Existencial tipo (que en realidad puede ser definido como:$(\Sigma x:B.C(x))/\top$): $$\cfrac{\Gamma,x:B\vdash C(x)\ \mathsf{prop}}{\Gamma\vdash\exists x:B.C(x)\ \mathsf{type}}\exists F\qquad\cfrac{\Gamma\vdash b:B\qquad\Gamma\vdash c:C(b)\qquad\Gamma\vdash\exists x:B.C(x)\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash(b,c):\exists x:B.C(x)}\exists I$$

$$\cfrac{\Gamma\vdash\exists x:B.C(x)\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash b:B\qquad\Gamma\vdash c:C(b)\qquad\Gamma\vdash d:B\qquad\Gamma\vdash t:C(d)}{\Gamma\vdash(b,c)=(d,t):\exists x:B.C(x)}\exists{=}$$

$$\cfrac{\Gamma,z:\exists x:B.C(x)\vdash M(z)\ \mathsf{prop}\qquad\Gamma\vdash d:\exists x:B.C(x)\qquad\Gamma,x:B,y:C(x)\vdash m(x,y):M((x,y))}{\Gamma\vdash\mathsf{elim}_\exists(d,x,y.m(x,y)):M(d)}\exists E$$

Eficaz extensional cociente tipos: $$\cfrac{\Gamma,x:A,y:A\vdash R(x,y)\ \mathsf{prop}\qquad\Gamma,x:A\vdash R(x,x)\qquad\Gamma,x:A,y:A,p:R(x,y)\vdash R(y,x)\qquad\Gamma,x:A,y:A,z:A,p:R(x,y),q:R(y,z)\vdash R(x,z)}{\Gamma\vdash A/R\ \mathsf{type}}QF$$

$$\cfrac{\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash A/R\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash[a]:A/R}QI\qquad\cfrac{\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A\qquad\Gamma\vdash A/R\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash [a]=[b]:A/R}Q{=}$$

$$\cfrac{\Gamma,z:A/R\vdash L(z)\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash p:A/R\qquad\Gamma,x:A\vdash l(x):L([x])\qquad\Gamma,x:A,y:A,d:R(x,y)\vdash l(x)=l(y):L([x])}{\Gamma\vdash\mathsf{elim}_Q(p, x.l(x)):L(p)}QE$$

$$\cfrac{\Gamma,z:A/R\vdash L(z)\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma,x:A\vdash l(x):L([x])\qquad\Gamma,x:A,y:A,d:R(x,y)\vdash l(x)=l(y):L([x])}{\Gamma\vdash\mathsf{elim}_Q([a], x.l(x))=l(a):L([a])}Q\beta$$

$$\cfrac{\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A\qquad\Gamma\vdash [a]=[b]:A/R}{\Gamma\vdash\mathsf{eff}(a,b):R(a,b)}\mathsf{Eff}$$

Estructura aditiva: $$\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}}{\Gamma\vdash 0_A:A}0I\qquad\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A}{\Gamma\vdash a+b:A}{+}I\qquad\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A}{\Gamma\vdash -a:A}{-}I$$

$$\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A}{\Gamma\vdash a+b=b+a:A}{+}\sigma\qquad\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A}{\Gamma\vdash 0+a=a:A}{+}\lambda$$

$$\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A\qquad\Gamma\vdash c:A}{\Gamma\vdash (a+b)+c=a+(b+c):A}{+}\alpha\qquad\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A}{\Gamma\vdash a+(-a)=0_A:A}{+}i$$

$$\cfrac{\vdash A\ \mathsf{type}\qquad\vdash B\ \mathsf{type}\qquad x:A\vdash t:B}{\Gamma\vdash t[0_A/x]=0_B:B}0c$$

$$\cfrac{\vdash A \ \mathsf{type}\qquad\vdash B\ \mathsf{type}\qquad\Gamma\vdash a:A\qquad\Gamma\vdash b:A\qquad x:A\vdash t:B}{\Gamma\vdash t[a+b/x]=t[a/x]+t[b/x]:B}{+}c$$

Es que no se el caso de que $\top$ $A\times B(=\Sigma x:A.B)$ corresponde a un vacío/vacío/falso/$\bot$ tipo y el tipo de subproducto, respectivamente, debido inicial de los objetos y co-productos en abelian categorías no son estables, es decir, conservado por la retirada de functors. Lo que se puede mostrar es que no se comportan como nula y tipos de subproducto tipos si sólo se consideran cerradas tipos, es decir, los tipos que corresponden a los objetos de la abelian categoría de lugar de los objetos en una fibra de categoría. Toda la estructura aditiva está restringido a los términos de cerrado de tipos.

Vamos $\vdash A\ \mathsf{type}$, $\vdash B\ \mathsf{type}$, y $\vdash C\ \mathsf{type}$, yo.e $A$, $B$, y $C$ están cerrados tipos, a partir de este punto. Vamos a demostrar que $\top$ es inicial. Claramente, $x:\top\vdash 0_A:A$ muestra que existe una flecha de $\top$ a (cerrado) $A$. Para mostrar la singularidad, considere la posibilidad de un plazo $x:\top\vdash t(x):A$. Desde $x=\star:\top$ través $\top\beta$, este plazo es el mismo que$x:\top\vdash t(\star):A$, por lo que tenemos $t(x)=t(\star)=t[t'/x]$ cualquier $t':\top$. En particular, para $t'=0_\top$ obtenemos $t(x)=t[0_\top/x]=0_A$ través $0c$. (Realmente, podríamos sustituir la regla de $0c$ con la regla de $\frac{\vdash t:A}{\Gamma\vdash t=0_A:A}$ es decir, el único término constante es cero, lo que tiene sentido, dado que la única constante abelian grupo homomorphism es el cero de morfismos.) Luego, escriba $A\oplus B$$A\times B$. Definir $\mathsf{inl}(a)$$\langle a,0_B\rangle$$\mathsf{inr}(b)$$\langle 0_A,b\rangle$. Definir $\mathsf{elim}_\oplus(t,x.f(x),y.g(y))$ $\mathsf{elim}_\Sigma(t, x,y.f(x)+g(y))$ donde $\Gamma\vdash t:A\oplus B$, $\Gamma,x:A\vdash f(x):C$, y $\Gamma,y:B\vdash g(y):C$. Es fácil demostrar que esta satisface la característica universal de la subproducto.

El núcleo de $\Gamma,x:A\vdash f(x):B$$\Sigma x:A.\mathsf{Eq}(B,f(x),0_B)$. La imagen es $A/R$ donde $R(x,y)$ se define como $\mathsf{Eq}(B,f(x),f(y))$. El cokernel es $B/R$ donde $R(x,y)$ se define como $\exists a:A.\mathsf{Eq}(B,f(a),x-y)$. El coimage es $A/R$ donde $R(x,y)$ se define como $\exists a:A.\mathsf{Eq}(B,f(a),0_B)\times\mathsf{Eq}(A,a,x-y)$. Mostrando que la imagen es isomorfo al núcleo de la cokernel el uso de este idioma es un buen ejercicio. De manera similar para el coimage y la cokernel del kernel. A partir de aquí es bastante obvio que el coimage es isomorfo a la imagen. La dirección está a sólo $\mathsf{elim}_Q(z,x.[x])$ cuya correcta forma en ambas direcciones sólo requiere de $(\exists a:A.f(a)=0\land a = x-y)\iff (f(x)=f(y))$ que sostiene claramente.

Answer 2

Desde el OP pidió voy a dar una especie de descripción de un método para probar la existencia de la conexión de morfismos en el lema de la serpiente, este método se uso generalizado de elementos para el transporte de casi literalmente de la tradicional prueba para las categorías de módulos.

En esta prueba voy a seguir los diagramas en este pdf (he preferido utilizar un único archivo pdf en lugar de poner un montón de imágenes, me disculpo por las molestias). $\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\coker}{coker}$

Así que supongamos que tenemos una situación como la que se describe en el diagrama (1) en el pdf.

Queremos construir un morfismos de $\Ker \gamma$ a $\Coker \alpha$. El la idea directriz de proporcionar tales morfismos es que una de morfismos de la misma como una transformación natural entre los asociados presheaves (por Yoneda): para proporcionar una morfismos entre dos objetos de $X$ $Y$ uno podría proporcionar una familia de bijections $\hom[U,X] \to \hom[U,Y]$ natural en $U$.

El uso de este principio tratamos de encontrar una función que asocia a cada generalizada elemento de $\Ker \gamma$, es decir, un morfismos $x \colon U \to \Ker \gamma$, una generalizada elemento de $\Coker \alpha$ con el mismo dominio, es decir, un morfismos $\delta x \colon U \to \Coker \alpha$.

Esta función es, básicamente, una flecha-versión de la cartografía proporcionada en el módulo de prueba: en el caso de los módulos de la conexión de mapa de $\delta$

• escoge un $x \in \Ker \gamma$,
• tira de ella a través de la epimorphism $g$,
• envía hacia abajo a través de $\beta$,
• tira hacia atrás de nuevo a lo largo de $f'$
• (finalmente) pushs hacia abajo a través de $\coker \alpha$.

Vamos a hacer algo similar.

• Se comienza por escoger un generalizada elemento $x \colon U \to \Ker \gamma$

• Nos tire $(\ker \gamma) \circ x$ a lo largo de $g$, obteniendo así el generalizado elemento $\bar x \colon P \to B$ y un epimorphism $\pi \colon P \to U$ (por un teorema, en abelian categorías pullbacks preservar epimorphisms). El cuadrado de $(\bar x,\bar g,g,\ker \gamma \circ x)$ es un retroceso de la plaza (como se muestra en el diagrama (3)).

• Entonces podemos empujar hacia abajo el ${\bar x}$ a lo largo de $\beta$ conseguir $\beta \circ \bar x$.

Por diagrama persiguiendo uno puede ver fácilmente que $g' \circ \beta \circ \bar x$ es igual a null mapa, por lo tanto $\beta \circ \bar x$ factores a través del núcleo de $g'$, que por la exactitud de la fila inferior es $f'$.

• De esta manera obtenemos un único (generalizada) el elemento $\bar{\bar x} \colon P \to A'$, como se muestra en el diagrama (4), que es el único de morfismos que puede ser obtenida por tirar de $\beta \circ \bar x$ a lo largo de $f$, es decir, el único de morfismos tal que $f \circ \bar{\bar x}=\beta \circ \bar x$.

• Por composición con $\coker \alpha$ obtenemos un generalizada elemento $\coker \alpha \circ \bar{\bar x} \colon P \to \Coker \alpha$.

El problema es que $\coker\alpha \circ \bar{\bar x}$ dominio $P$, mientras que tenemos una generalizada elemento con el dominio $U$.

Para resolver este problema necesitamos mostrar que $\coker \alpha \circ \bar {\bar x}$ factores a través de la epimorphism $\bar g$.

Hacemos esto al mostrar que $\coker \alpha \circ \bar{\bar x} \circ \ker \bar g$ es un valor nulo de morfismos, esto implica que $\coker \alpha \circ \bar{\bar x}$ factores a través de la coker de $\ker \bar g$, $\bar g$ abstractos-tonterías.

En el diagrama (5) consideramos que el pullback de $f$$\bar x$. Por abstracto tonterías de la parte superior de morfismos de dicho retroceso es $\ker \bar g$ y tenemos la igualdad $$f \circ \bar x' = \bar x \circ \ker \bar g\ .$$

De esta última igualdad, mediante el diagrama de perseguir, de ello se sigue que $$\bar{\bar x} \circ \ker \bar g = \alpha \circ \bar x'$$ de ahí que $$\coker \alpha \circ \bar{\bar x} \circ \ker \bar g = 0$$ como queríamos.

De esto se sigue, como se dijo antes, que el $\coker \alpha \circ \bar{\bar x}$ factores a través de $\bar g$, es decir, que existe una generalizada elemento (que es hniquely determinado por propiedades universales) $\delta x \colon U \to \Coker \alpha$ tal que $$\coker \alpha \circ \bar{\bar x}=\delta x \circ \bar g\ .$$

Resumiendo tenemos básicamente construir una función $\delta \colon \hom[U,\Ker \gamma] \to \hom[U,\Coker \alpha]$ (que se asigna generalizada de los elementos por el mismo tirar-empujar juego que se utiliza en el módulo de la versión con algunos ajustes).

A partir de esto se podría continuar mostrando la connaturalidad de las funciones en $U$, pero ya que estamos interesados sólo en los morfismos $\delta \colon \ker \gamma \to \Coker \alpha$ (de nuevo, con yoneda bajo el capó) podemos observar simplemente que al permitir que el $U=\Ker \gamma$ $x=\text{id}_{\Ker \gamma}$ los morfismos $\delta \text{id} \colon Ker \gamma \to \Coker \alpha$ da exactamente la requerida de morfismos.

Algunos comentarios: quiero strees que las complicaciones encontradas con el fin de obtener los morfismos $\delta x$ $\coker \alpha \circ \bar{\bar x}$ son de la flecha de la versión de la definición del problema que uno se encuentra mientras que la definición de la conexión-morfismos $\delta$ en el módulo de caso.

Espero que este ejemplo puede dar una idea de la potencia de la utilización generalizada de los elementos .... la generalización de las pruebas de la configuración clásica basada en casos.

Answer 3

Mientras que Andreas se plantea una pregunta muy interesante en los comentarios, que no sé la respuesta, a excepción de estar de acuerdo en que la disyunción no funciona normalmente en abelian categorías, ya que no son coherentes, la restricción para regular la lógica no presenta problemas.

Por ejemplo, dada $f:B\to C$, la proposición $f(x)=0$ es simplemente interpreta como el subobjeto de $B$ dado por todos los $x$ tal que $f(x)=0$. Del mismo modo, $g(y)=x$ más apropiado es el subobjeto de $A\oplus B$, mientras que $\exists y:g(y)=x$ es su imagen en $B$, que es precisamente la imagen de $g$. La exactitud es la suposición de que estos subobjetos están contenidos en cada uno de los otros, que es cómo interpretamos la vinculación de las proposiciones.

Podemos demostrar que este tipo de cosas siempre funcionará el uso de Mitchell incrustación teorema. La incrustación es exacta y totalmente fieles, por lo que conserva y refleja las declaraciones de regular la lógica, y de la categoría de interpretación de enunciados lógicos en la categoría de módulo es, por supuesto, la interpretación clásica. Por lo que cualquier estado puede resultar en una categoría de módulo será verdad en la lógica interna en cualquier abelian categoría.