demostrar esta desigualdad con $63$

Question

Dejemos que $x,y,z,w>0$ y tal $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ . demostrar que $$x+y+z+w+\dfrac{1}{63xyzw}\ge\dfrac{142}{63}\tag{1}$$

Lo sé. $$x^2+y^2+z^2+w^2\ge 4\sqrt[4]{x^2y^2z^2w^2}\Longrightarrow xyzw\le \dfrac{1}{16}$$ por lo que tenemos $$\dfrac{1}{63xyzw}\ge\dfrac{16}{63}$$ Pero por otro lado $$(x^2+y^2+z^2+w^2)\ge\dfrac{1}{4}(x+y+z+w)^2\Longrightarrow x+y+z+w\le 2$$ Por lo tanto, la solución anterior no es correcta, así que ¿cómo se demuestra esta desigualdad $(1)$

Answer 1

Dejemos que $x=\max\{x,y,z,w\}$ y $f(x,y,z,w)=x+y+z+w+\frac{1}{63xyzw}-\frac{142}{63}.$

Así, $x\geq\frac{1}{2}$ y $$f(x,y,z,w)-f\left(x,\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}},\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}},\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)=$$ $$=y+z+w-\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+\frac{1}{63xyzw}-\frac{1}{63x\left(\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)^3}=$$ $$=\frac{\left(\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)^3-yzw}{63xyzw\left(\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)^3}-\frac{2\sum\limits_{cyc}(y^2-yz)}{\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+y+z+w)}.$$ Demostraremos que $$\frac{\left(\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)^3-yzw}{yzw\left(\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)^3}\geq\frac{35.7\sum\limits_{cyc}(y^2-yz)}{\left(\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+y+z+w\right)(y^2+z^2+w^2)^2}.$$ En efecto, dejemos que $y+z+w=3p$ , $yz+yw+zw=3q^2$ y $yzw=r^3$ .

Por lo tanto, ya que $y^2+z^2+w^2=9p^2-6q^2$ no depende de $r^3$ ,

la última desigualdad es equivalente a $g(r^3)\geq0$ , donde $g$ disminuye,

que dice que basta con demostrar la última desigualdad para un valor máximo de $r^3$ ,

lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Como la última desigualdad es homogénea, basta con suponer que $z=w=1$

y tenemos que demostrar aquí que $$\frac{\left(\sqrt{(y^2+2)^3}-3\sqrt3y\right)\sqrt{y^2+2}\left(\sqrt{3(y^2+2)}+y+2\right)}{y(y-1)^2}\geq35.7$$ o

$$\frac{((y^2+2)^3-27y^2)\sqrt{y^2+2}\left(\sqrt{3(y^2+2)}+y+2\right)}{y(y-1)^2\left(\sqrt{(y^2+2)^3}+3\sqrt3y\right)}\geq35.7$$ o $$\frac{(y+1)^2(y^2+8)\sqrt{y^2+2}\left(\sqrt{3(y^2+2)}+y+2\right)}{y\left(\sqrt{(y^2+2)^3}+3\sqrt3y\right)}\geq35.7,$$ lo cual es cierto porque $$\min_{y>0}\frac{(y+1)^2(y^2+8)\sqrt{y^2+2}\left(\sqrt{3(y^2+2)}+y+2\right)}{y\left(\sqrt{(y^2+2)^3}+3\sqrt3y\right)}=35.7845...>35.7.$$ Ahora, $$f(x,y,z,w)-f\left(x,\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}},\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}},\sqrt{\frac{y^2+z^2+w^2}{3}}\right)\geq$$ $$\geq\tfrac{35.7\sum\limits_{cyc}(y^2-yz)}{63x\left(\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+y+z+w\right)(y^2+z^2+w^2)^2}-\tfrac{2\sum\limits_{cyc}(y^2-yz)}{\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+y+z+w}=$$ $$=\frac{\sum\limits_{cyc}(y^2-yz)(35.7-126x(1-x^2)^2)}{63x\left(\sqrt{3(y^2+z^2+w^2)}+y+z+w\right)(y^2+z^2+w^2)^2}\geq0$$ porque $$35.7-126x(1-x^2)^2>0$$ para todos $\frac{1}{2}\leq x<1.$

Id est, es suficiente para demostrar la desigualdad de partida para $y=z=w$ que es $$\frac{x+3y}{\sqrt{x^2+3y^2}}+\frac{(x^2+3y^2)^2}{63xy^3}\geq\frac{142}{63}$$ y como la última desigualdad es homogénea, podemos suponer $y=1$ y tenemos que demostrar que $$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{(x^2+3)^2}{63x}\geq\frac{142}{63},$$ lo cual es cierto.

¡Hecho!

Es interesante que $$\min_{x>0}\frac{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{(x^2+3)^2}{63x}-\frac{142}{63}}{(x-1)^2}=0.00053...,$$ que dice que la desigualdad de partida es muy fuerte.