¿Por qué se puede expresar una onda con una función sinusoidal?

Question

Veo muchas expresiones que expresan ondas con la función seno como $y=\sin(kx-\omega t)$ .

Las ondas se parecen realmente a las formas de una función seno o coseno, pero ¿garantiza esto que las expresiones que muestran un movimiento similar al de las ondas son funciones seno o coseno o es sólo una aproximación?

Answer 1

Para entender de manera sencilla, la forma en que las ondas, que usted está considerando, se comportan de manera similar a las funciones de una onda sinusoidal.

Tienen propiedades similares a ellas y por eso las ondas seno y coseno son las más fáciles de representar de las funciones periódicas. No es que exactamente esa forma se aplique a las ondas. No es una obligación que las ondas se representen sólo en forma de curvas sinusoidales.Hay muchas ondas que no tienen esa forma, especialmente las triangulares y las rectangulares. Pero esta función periódica facilita mucho la representación.

Es mucho más fácil entender las propiedades de las ondas cuando utilizamos las gráficas del seno y del coseno para describirlas.

Representan de cerca estas ondas en su propagación.

Todas las ondas pueden representarse mediante una función periódica y cualquier forma repetida representa una función periódica. La mayoría de las funciones periódicas, tanto en el mundo real como en la teoría, son bastante complicadas, al menos matemáticamente.

Si queremos hacer matemáticas sobre las ondas de las que hablamos, tendremos que hacernos con estas funciones periódicas. Lo que realmente ayudaría es una forma de simplificarlas. El análisis de Fourier nos permite hacer exactamente eso. Podemos tomar una función periódica complicada con algunas matemáticas realmente molestas y descomponerla en funciones periódicas más simples donde las matemáticas son mucho más fáciles.

Si utilizara el $tan$ para esta representación específica, entonces, como sabes que la gráfica de Tan es discontinua en muchos puntos, no es posible que represente una onda... y, por lo tanto, la representación del seno y del coseno se acercan bastante a esta representación.

Las funciones periódicas más simples son el seno y el coseno. Son prácticamente lo mismo y están estrechamente relacionadas.

Teoría de Fourier: cualquier función $$\tilde{f}(k):=\int_\mathbb{R}f(x)e^{ikx} dx$$ puede descomponerse en una suma infinita de senos y cosenos. Dado que este es el caso y que tratar con senos y cosenos es matemáticamente más sencillo que el caso general de las funciones periódicas, por qué preocuparse de este último, cuando siempre se puede expresar cualquier función como una suma de senos y cosenos, y una solución en esta forma es completamente isomorfa con el caso general.

Answer 2

Pero, ¿garantiza esto que las expresiones que muestran el movimiento de las ondas puedan ser función seno o coseno? ¿Es sólo una especie de aproximación?

Se trata de modelar los datos. Cualquier función periódica puede ser modelada con senos usando el Serie de expansión de Fourier por lo que en este sentido si no es una onda sinusoidal pura, se puede ajustar la onda física con una aproximación de sumas de senos.

Incluso se puede encajar paquetes de ondas:
$\hspace{50px}$ .

Answer 3

Una de las formas más sencillas de obtener ondas es tener una situación en la que la fuerza sea proporcional a la ubicación: $F=kx$ para algunos $k$ . Como la fuerza es la masa por la aceleración, y la aceleración es la segunda derivada, el caso de una variable da $x'' = \frac{k}{m}x$ . Si $k$ es negativo, entonces $x = \sin{\left(\sqrt{\frac {-k} m}t\right)}$ es una solución. Las ecuaciones de onda más complicadas pueden tener otras soluciones, pero este es el caso base. Además, las aplicaciones de la ecuación de onda suelen permitir superposiciones de ondas, en cuyo caso el movimiento es la suma de múltiples funciones sinusoidales, y la función completa puede no parecerse a una onda sinusoidal.

Answer 4

Una de las razones por las que las ondas sinusoidales aparecen en la naturaleza es que, en muchos sistemas físicos, podemos expresar una onda general como una superposición de senos y cosenos de todas las frecuencias, pero las diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades. Esto significa que incluso para una fuente desordenada de ondas, que inicialmente no se parece en nada a una onda sinusoidal, los observadores que estén lejos sólo verán, en un momento dado, una frecuencia, y ésta se parecerá a una onda sinusoidal pura.

Podemos justificar la superposición de ondas y el tratamiento de las diferentes frecuencias de forma independiente (a lineal aproximación), cuando las olas aparecen como pequeñas fluctuaciones en torno a alguna situación de equilibrio. Por ejemplo, un océano plano está en equilibrio, y las pequeñas perturbaciones en la superficie se propagan como ondas a medida que la gravedad actúa para restablecer el equilibrio. Desde el punto de vista matemático, las ondas seno y coseno aparecen como los elementos naturales de esta aproximación linealizada porque tienen un comportamiento sencillo bajo diferenciación: la pendiente de un seno es un coseno, y viceversa.

El modelo específico de la física nos dice entonces, para cualquier longitud de onda (o número de onda) $k$ ), la frecuencia $\omega(k)$ (dependiendo de $k$ ) a la que oscilan/se propagan. Este es el relación de dispersión para el sistema en cuestión. Por ejemplo: $$\omega \left(k\right) \begin{cases}= \sqrt{g k} & \text{for waves in deep water} \\= c k & \text{for light or sound} \\\propto k^{3/2} & \text{for capillary waves} \end{cases} $$ El último ejemplo ocurre en el caso de las olas de agua pequeñas (de un tamaño de unos milímetros o menos), en las que la principal fuerza de restauración es la tensión superficial, en lugar de la gravedad, como en el primero de la lista.

La velocidad a la que se propaga una determinada frecuencia viene dada por la velocidad del grupo $c_g=\frac{d\omega}{dk}$ que para los ejemplos anteriores es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{k}}$ , $k^0$ (constante), y $\sqrt{k}$ respectivamente. Esto muestra tres comportamientos cualitativamente diferentes: las longitudes de onda más largas (más pequeñas $k$ ) van más rápido, todas las longitudes de onda viajan a la misma velocidad, o las más cortas van más rápido.

Cualquier surfista podrá decirte que cuando hay una tormenta en el océano, y llega un nuevo oleaje a la playa, las primeras olas que llegan son siempre las de mayor período, de mayor longitud de onda, y luego, a medida que pasan las horas y los días, se van acortando progresivamente. La razón de que haya un periodo bien definido, y de que parezcan ondas sinusoidales (al menos hasta que se acercan demasiado a la playa y el fondo marino empieza a interferir), es precisamente este fenómeno de dispersión. Si haces pequeñas ondas en un estanque/baño con el dedo, podrás ver el fenómeno contrario, en el que las longitudes de onda más cortas se dispersan más rápidamente.

El sonido no tiene esta dispersión, ya que todas las longitudes de onda se mueven a la misma velocidad. Si reproducimos una breve ráfaga de ruido blanco en un altavoz, sin una frecuencia bien definida, oiremos el ruido blanco, incluso a gran distancia, porque las diferentes frecuencias componentes no se separarán. Por lo tanto, las ondas sonoras nunca se parecerán a las ondas sinusoidales.

En cualquier caso, si haces un chapoteo, la superficie del agua estará desordenada al principio, pero las ondas que se extiendan tendrán el aspecto de bonitas y limpias ondas sinusoidales con picos y valles bien definidos, porque todos los componentes del batiburrillo original de longitudes de onda viajan a diferentes velocidades y se separan unos de otros.

Answer 5

La onda viajera puede tener cualquier forma continua y diferenciable, como se puede demostrar comprobando que la función general $f\left(x-ct\right)$ satisface la ecuación de onda (al igual que la que se mueve en sentido contrario.

Las soluciones del seno y del coseno son útiles sólo porque se puede construir una onda de cualquier forma sumando un conjunto apropiado de ellas, como en las series/integrales de Fourier.