Calcular la probabilidad de un evento con la cual la unión y complemento

Question

Hay dos eventos independientes. La probabilidad de que ambas se produce al mismo tiempo es $\frac{1}{6}$ y la probabilidad de que ninguno de ellos pasa es $\frac{2}{3}$. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de ellos se produce?

Estoy tratando de solucionar el problema, pero no puedo encontrar una manera de resolverlo a un solo evento. Esto es lo que hice:

Sabemos que $P(A\cap B) = \frac{1}{6}$ $[1 - P(A)] \cdot [1 - P(B)] = \frac{2}{3}$

Así,

$$[1 - P(A)] \cdot [1 - P(B)] = \frac{2}{3} $$ $$1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{3}$$ $$ 1 - P(A) - P(B) + \frac{1}{6}= \frac{2}{3}$$

Como puede verse, no se me puede resolver sólo para $P(A)$ o sólo $P(B)$. Alguien puede darme una pista de qué estoy haciendo mal? Ya sé que la respuesta para esta pregunta es $\frac{1}{6}$

Answer 1

Sugerencia: La probabilidad de que sólo uno de ellos es:

$$\mathsf P(A\oplus B) = \mathsf P(A\cup B)-\mathsf P(A\cap B)$$

Cuando usted sabe $$\mathsf P(A\cap B)=1/6 \\ 1-\mathsf P(A\cup B) = 2/3$$

Answer 2

Sugerencia 1: Dibujar un diagrama de Venn.

Pista 2: Es realmente imposible en esta pregunta para encontrar la probabilidad de $A$ o de $B$ individualmente, pero, afortunadamente, eso no es lo que la pregunta está pidiendo. Pregunta por la probabilidad de que sólo uno de los eventos ocurre, no ambos a la vez, pero no especifica cuál. El uso de la notación, está pidiendo $P(A\cap\neg B)+P(B\cap\neg A)$. Y usted puede ver fácilmente que en el diagrama.