Cómo encontrar a la generación de la función de suma acumulativa?

Question

Dada la recurrencia, $$ a_n = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ a_{n-1} + 2a_{n-2} + 3a_{n-3} + \ldots + (n - 1)a_1 + na_0, & n \geq 1 \end{casos} $$ Mi intento fue, reescribir $a_n$ como: $$a_n = \displaystyle{\sum_{i=0}^na_i}(n - i) \Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\displaystyle{\sum_{i=0}^na_i(n - i)\bigg)}}z^n + 1$$ entonces traté de comparar con uno de mi generación de la función de las fórmulas: $$\dfrac{G(z)}{1 -z} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\displaystyle{\sum_{i=0}^na_i\bigg)}}z^n$$ Son muy similares, excepto por el coeficiente de $n - i$ e las $1$. La respuesta dada en la nota fue: $$a_n = \dfrac{-1}{\sqrt{5}}\bigg(\dfrac{2}{3 + \sqrt{5}}\bigg)^n + \dfrac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}}\bigg)^n$$ pero yo no tenía idea de cómo llegó a esa expresión? También traté de considerar $$G(z) - zG(z) - 2z^2G(z) - 3z^3G(z) - 4z^4G(z) - \ldots = 1$$ pero este enfoque conduce a: $$G(z) = \dfrac{1}{1 - z - 2z^2 - 3z^3 - \ldots }$$ which is impossible to factor out the denominator. I guess there must be a clever trick to pull out the $n - i$ plazo, pero de alguna manera yo no podía ver. Me pregunto alguien podría darme una pista de cómo resolver este problema? Gracias.

Answer 1

Vea si usted puede probar $a_n=3a_{n-2}-a_{n-4}$. Supongo que una vez que llegue a esa forma, se dispone de métodos para resolverlo.

Answer 2

Como Qiaochu notas, su segundo método funciona, pero es incompleta. Considere lo que la derivada de la habitual serie geométrica aspecto como este puede ser masajeado en el formulario que tienes en la mano?

Más generalmente, si $(a)_n=a(a-1)\cdots\big(a-(n-1)\big)$, podemos observar lo siguiente:

$$\frac{d^{\,k}}{dx^k} x^n = (n)_k x^{n-k} \quad\implies\quad \sum_{n=0}^\infty a_n (n)_k x^n =x^k\frac{d^{\,k}}{dx^k}\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right).$$

Observe que $\{(n)_1,(n)_2,\cdots\}$ constituye una base para el espacio vectorial de entero coeficiente de polinomios, por lo que podemos utilizar la fórmula anterior, para evaluar, para cualquier racional coeficiente polinomio $P$,

$$A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n P(n) x^n \quad \mathrm{in~terms~of} \quad B(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$$

Van en la dirección opuesta a menudo involucra ecuaciones diferenciales. Como un ejemplo, el uso de las ideas anteriores y su fórmula para $G(z)/(1-z)$ podemos evaluar la ecuación (2) en su pregunta a

$$G(z)=z\frac{d}{dz}\left(\frac{G(z)}{1-z}\right)-\frac{1}{1-z}\left(z\frac{d}{dz} G(z)\right)+1.$$