Demuestre que si $ |f( \frac{1}{n}) | \leq \frac{1}{n!}$ entonces $0$ es una singularidad esencial

Question

Dada una función holomorfa no constante $f:D(0,1) \smallsetminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C}$ así que $\forall n=2,3,...:\ |f(\frac{1}{n})| \leq \frac{1}{n!}$ Necesito demostrar que $0$ es una singularidad esencial.

Intenté ampliar $f$ a su serie Laurent cerca de $z_0 = 0$ y calcular los coeficientes por:

$$a_{-k} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=r} z^{n-1}f(z)dz$$ y tomar $r= \frac{1}{n}$ así que $$a_{-k} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=\frac{1}{n}} z^{n-1}f(z)dz $$

Pero no sé cómo si es una dirección fértil ni cómo proceder si lo es.

Answer 1

Supongamos que la singularidad es removible. Entonces $f(0) = \lim_{n\to\infty} f(1/n) = 0$ por lo que podemos escribir $f(z) = z^k g(z)$ para algunos $k\in \mathbb{N}$ y $g$ holomorfo con $g(0) \neq 0$ . En un barrio lo suficientemente pequeño como para $0$ podemos suponer $|g| > C > 0$ . Así, en esta vecindad, tenemos $|f(z)| > C |z|^k$ . Para un tamaño suficientemente grande $n$ se deduce que $Cn^{-k} < 1/n!$ contradicción.

Análogamente: supongamos que la singularidad es un polo. Escribe $f(z) = g(z)/z^k$ donde $g(0)\neq 0$ . Entonces, en un barrio suficientemente pequeño de $0$ tenemos $|f(z)| > C|z|^{-k}$ por lo que para un tamaño lo suficientemente grande $n$ debe ser cierto que $1/n! > Cn^k$ contradicción.

Answer 2

Una pista:

En $$\lim_{z\to0}f(z)=L$$ ¿existe? (Para los finitos o infinitos $L$ )

Supongamos que lo hace, y porque $1/n\to0$ entonces $|L|\leq0\to L=0$ . Ahora, debe comprobar que este valor es posible.