La Inferencia Estadística Pregunta

Question

A Partir De La Inferencia Estadística, Segunda Edición (George Casella, Roger L. Berger)

"Mi teléfono suena 12 veces cada semana, las llamadas se distribuyen al azar entre los 7 días. ¿Cuál es la probabilidad de que puedo obtener por lo menos una llamada cada día?"

La respuesta es .2285, pero no sé cómo lo consiguieron. Mi razonamiento fue el siguiente:

Hay 12 llamadas y por lo tanto 13 lugares para poner "día divisores" para producir posibles distribuciones de llamadas. No debe ser de 6 días divisores de la semana. Una posibilidad:

_1|2_3|4_5_6|7|8||9_10_11_12

(1 lunes, 2 martes, 3 miércoles, 1 jueves 1 viernes 0 sábado, 4 en domingo)

Hay 13^6 posibles distribuciones (el uso de este método). Con el fin de satisfacer 1 llamada/día, divisores, no puede ser al principio o al final, ni puede ser en la parte superior de uno al otro (lo que significa un día sin llamadas). Esto significa que hay:

11*10*9*8*7*6

Válido distribuciones y una probabilidad de: 0.069. A donde voy mal?

(P. S. Esto no es tarea como no estoy en la escuela).

Edit: no creo que cada "distribución" es igualmente probable. Probablemente ese sea mi error. Pero todavía no sé cómo llegar a la respuesta correcta :)

Answer 1

Aquí es un enfoque sencillo para resolver el problema. Considerar las tuplas $(n_1,n_2,\ldots,n_7)$ tal que $n_i$ son enteros positivos satisfacer $n_1 + n_2 + \cdots + n_7 = 12$. Además, supongamos por el momento que $n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_7$. Usted debe encontrar que sólo hay siete tuplas. Tomemos, por ejemplo, la tupla $(4,3,1,1,1,1,1)$. La correspondiente probabilidad es, de acuerdo a la distribución multinomial con parámetros de $n=12$$p_1 = p_2 = \cdots = p_7 = 1/7$, $$ \frac{{12!}}{{4!3!1!1!1!1!1!}}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{4}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{3}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{1}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{1}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{1}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{1}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{1} = \frac{{12!}}{{4!3!}}\bigg(\frac{1}{7}\bigg)^{12}. $$ Ahora, si no asumimos que $n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_7$, entonces usted debe multiplicar por encima de la probabilidad por ${7 \choose 2}2$. Haciendo lo mismo para las otras tuplas, se puede obtener siete de probabilidades. Su suma es la probabilidad de que usted está buscando. He hecho el cálculo y el resultado es $\approx 0.228452440447$.