Cardinalidad de conjuntos infinitos - Ayuda a la intuición

Question

Ayer estudié la cardinalidad de los conjuntos infinitos y, debo decir, fue la primera vez que desconfío de las matemáticas. Es decir, ha sido la primera vez que no me he tragado -con anzuelo y sin cola- algo de las matemáticas que me ha demostrado un profesor de matemáticas.

Esto no quiere decir que crea que no es cierto. Lo que digo es que la verdad de la cardinalidad de los conjuntos infinitos está tan en desacuerdo con mi intuición que me cuesta creerla. Y creo que me vendría bien un poco más de explicación para aclarar algunas cosas.

1. La distinción entre las reglas que rigen los conjuntos finitos e infinitos. Por ejemplo, podemos decir que los números Impares son un subconjunto propio de los enteros. Esto lo sabemos absolutamente, ¿correcto? Sin embargo, podemos demostrar mediante la diagonalización que el conjunto que contiene todos los impares y el conjunto que contiene todos los enteros tienen la misma cardinalidad, que es Aleph-nula.

¿Cómo es que podemos permitir tal discontinuidad en nuestra comprensión de estos conjuntos? ¿Cómo es posible que ambas afirmaciones sean simultáneamente verdaderas? ¿Cómo, si A es un subconjunto propio de B, puede |A|=|B|? Sé que esto no se sostiene cuando limitamos la conversación a conjuntos finitos. Sin embargo, no entiendo por qué no podemos hacer la misma afirmación sobre estos dos conjuntos infinitos, o al menos no decir definitivamente que ambos tienen cardinalidad Aleph-nula.

2. Demostrando que los reales no forman un mapa biyectivo a Aleph-null. Esto se demostró tratando de mapear los reales en los naturales. Más concretamente, el profesor consideró sólo el continuo y demostró que el continuo no puede mapear a los naturales y, por tanto, tampoco los reales.

El profesor lo hizo demostrando que cualquier lista de números naturales nunca podría contener todos los reales porque siempre podemos crear al menos un nuevo número no contenido en la lista.

SIN EMBARGO, me pareció una redacción un poco llamativa. Si podemos hacer esto y luego decir "mira, no hemos tenido en cuenta este número" y además no se nos permite decir "vale, pero sigo teniendo este número natural al que puedo asignar ese número real" en este caso, ¿por qué no se aplican los mismos argumentos a otros casos? Es decir, ¿por qué no puedo hacer exactamente lo mismo cuando se trata del mapeo entre probabilidades/enteros?

Sé que esta no es la típica pregunta para stackexchange, pero realmente quiero clavar esto. No me malinterpreten, conozco la información. Puedo aplicar la información. Sin embargo, no creo necesariamente en la información y eso me molesta un poco.

Answer 1

Su incredulidad (comprensible) parece depender principalmente de una idea: La afirmación de que si $A\subsetneq B$ entonces $\#A<\#B$ .

Esto es obviamente cierto para los conjuntos finitos, pero como has aprendido no para los infinitos, al menos dada la definición estándar de cardinalidad (no necesariamente la única posible), que afirma que dos conjuntos son de igual cardinalidad si pueden ponerse en correspondencia biyectiva.

Un ejemplo muy sencillo que utiliza esta definición es el siguiente: Tomemos los números naturales $\mathbb N$ . Ahora quita el número $1$ . Tienes un nuevo conjunto que es un subconjunto estricto de $\mathbb N$ Pero si usted reetiquetar (es decir, poner en correspondencia) cada elemento $n$ de ese nuevo conjunto con la "etiqueta" $n-1$ De repente tienes todos los números naturales apareciendo de nuevo, a pesar de haber eliminado uno al principio. Por tanto, según la definición de cardinalidad dada anteriormente, las cardinalidades de los dos conjuntos son efectivamente iguales.

Toda la aparente paradoja desaparece en el momento en que entiendes que no es la naturaleza de los conjuntos infinitos la que viola tu intuición, sino las (re)definiciones de conceptos comunes como "tamaño" cuando se aplican a esos conjuntos. Puedes definir la cardinalidad de una manera que sea compatible con la intuición de la inclusión y el tamaño relativo. La razón por la que los matemáticos no hacen lo mismo es que conduce a incoherencias en la teoría de conjuntos.

En pocas palabras: Por supuesto que hay más enteros que los enteros pares, excepto si se entiende por "más" la cardinalidad teórica de los conjuntos. No hay ningún conflicto con la intuición.

Answer 2

Creo que es justo decir que casi todas las personas experimentan la misma sorpresa cuando empiezan a examinar conjuntos infinitos. Nuestra intuición ingenua está formada por nuestra experiencia limitada de una realidad finita, así que cuando nos enteramos de una realidad diferente (infinita) con propiedades directamente opuestas a nuestra intuición, naturalmente cuestionamos las cosas. El formalismo matemático (las pruebas rigurosas) nos lleva a aceptar estas verdades matemáticas, se ajusten o no a nuestra intuición. Una vez que nos hacemos con esas pruebas y comprendemos plenamente sus detalles, empezamos a desarrollar nuevas intuiciones sobre nuevas paisajes como el infinito. Como matemático, es importante que mantengas tu mente abierta a nuevas ideas y no desarrolles actitudes obstinadas. La belleza de la materia debería impulsarte en esta dirección. Las matemáticas humanas nos muestran que la mente humana puede desarrollar nuevas intuiciones.

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Suplemento :

Los resultados contraintuitivos en matemáticas no se limitan a la Teoría de Conjuntos, sino que se pueden encontrar en casi cualquier teoría matemática (superior), y no sólo se trata de teoremas. Las definiciones que utilizan la generalización y la abstracción a menudo pueden dejarnos sin intuición. Por ejemplo, ¿qué aspecto tiene una esfera de siete dimensiones?

Estás leyendo esto en un ordenador. Las matemáticas nos dicen que todos los ordenadores son lógicamente equivalentes y que lo único que hacen es codificar información sumando números naturales. No está intuitivamente claro (para mí) cómo surge toda esta complejidad computacional a partir de la simple suma de números naturales según ciertas reglas. Por ejemplo, ¿cómo podemos esperar lograr la inteligencia de una máquina simplemente volteando bits en una cadena finita de unos y ceros?

Por último, un pensamiento para todos esos jóvenes teóricos cuánticos en ciernes. Sólo tienen el formalismo matemático para guiarse, la intuición es ajena. Sin embargo, la teoría cuántica es muy convincente en cuanto a su capacidad para explicar la realidad.

Answer 3

Ya que Pew ha respondido a la primera parte de tu pregunta, yo voy a responder a la segunda. Intentemos usar un argumento de diagonalización para demostrar que hay más enteros que enteros Impares.

Argumentaremos por contradicción. Supongamos que hay una forma de enumerar los números, $a_1$ , $a_3$ , $\dots$ , utilizando los índices Impares -- esto es lo que significa tener el mismo tamaño que los números Impares. ¿Cómo podemos construir un número que no está en nuestra lista?

En la prueba que $[0,1]$ es incontable, utilizamos expansiones decimales para hacer un contraejemplo. Así que vamos a intentar usar expansiones decimales para hacer un número que no esté en nuestra lista. Después de todo, todos los números tienen una expansión decimal.

En la prueba que $[0,1]$ es incontable, realizamos una expansión decimal que difiere de todas las demás expansiones decimales de nuestra lista . Así que hagamos un número que difiera de todos los demás números de nuestra lista en al menos un punto de sus expansiones decimales.

Pero aquí es donde el argumento se rompe - cada número tiene un finito expansión decimal, pero hay infinitamente muchos números. No podemos hacer un número que tenga una expansión decimal infinita (aunque sí se puede en otros sistemas numéricos, como el $2$ -adics). Si pudiéramos hacer tal número entonces obtendríamos una contradicción, pero no podemos.

La razón por la que $[0,1]$ es incontable es no que podamos elegir al azar algo que no esté en alguna lista. Más bien, $[0,1]$ es incontable porque los números reales tienen infinitas expansiones decimales.