Supongamos que tenemos dos torres de la misma altura $N$, cada torre consta de $N$ monedas apiladas en la parte superior de uno al otro. Ahora supongamos que tenemos una máquina o lo que sea que tiene una moneda de una de las torres y moverlo a la otra. Es decir, una moneda puede ser trasladado desde la torre de $A$ a de la torre de $B$ $50\%$ de probabilidad o de $B$ $A$ $50\%$de probabilidad.
La pregunta es: ¿cuántos de esos movimientos, en promedio, se tarda antes de que la altura de la torre de $A$ o de la torre de $B$ i cero?
Puede ser transformado en un problema equivalente, donde una máquina imprime $0$ o $1$, con igual probabilidad y queremos encontrar el promedio de la longitud de la secuencia antes de que existan $N$ $0$'s de $1$'s o de la otra manera alrededor.
Creo que me lo ha solucionado, aunque no estoy seguro de mi, aunque el proceso es correcto.
La solución es:
Deje $f(n)$ ser el número promedio de pasos, donde $n$ es la altura de las torres. Ahora, supongamos que tenemos el doble de la altura de cada torre y queremos averiguar $f(2n)$.
Por definición, el número promedio de pasos necesarios antes de que la torre de $A$ o $B$ han altura$n$$f(n)$. A partir de aquí, hay una probabilidad igual de que podemos volver a la posición inicial o de que la torre se convierte en vacío.
Así: $$f(2n) = f(n) + 0.5[f(n) + f(2n)] + 0.5f(n)$$
La solución para $f(2n)$ obtenemos:
$$f(2n) = 4f(n)$$
Por lo tanto, $f(n)$ los $f(n)=cn^2$ donde $c$ es una constante.
Desde $f(1) = 1 \Rightarrow c=1$, la solución es: $f(n) = n^2$.
