¿Cómo encontramos los valores específicos de sin y cos dada la definición de la serie

Question

$\exp:x\mapsto \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\cfrac{1}{n!}x^n$

$\cos:x\mapsto \Re\left(\exp \left(i x\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\cfrac{\left(-1\right)^n}{\left(2n\right)!}x^{2n}$

$\sin:x\mapsto \Im\left(\exp \left(i x\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\cfrac{\left(-1\right)^n}{\left(2n+1\right)!}x^{2n+1}$

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Nunca me he enterado de cómo se construyeron estas funciones. Aprendí muchas cosas con su ecuación diferencial (por $\exp$ ) o el círculo unitario (para $\cos$ y $\sin$ ) definición y luego cuando aprendí sobre las series, el profesor simplemente dijo "podríamos usar esas series como definiciones y encontrar todas las propiedades que conoces sobre esas funciones pero no tenemos suficiente tiempo" pero aun así hicimos algunos como ejercicios sobre series.

Entiendo cómo obtenemos la mayoría de las propiedades: sobre todo los productos de Cauchy y algunas otras cosas. Pero una cosa que no entiendo es cómo encontramos los valores específicos.

Por ejemplo, $\sin(\pi)=0$ o tal vez esto se utiliza como una definición de $\pi$ . Pero entonces, ¿cómo encontrar $\sin\left(\cfrac{\pi}{2}\right)=1$ ? ¿Y cómo podemos probar que existe tal número $\pi$ ?

Answer 1

Damos un breve esbozo de cómo introducir las funciones trigonométricas a través de series. Supondremos que se han demostrado las propiedades básicas de las series. Sí, necesitamos definir $\pi$ . Lo definiremos de una manera cercana en espíritu a lo que usted hizo. Nuestro objetivo es establecer una maquinaria útil, suficiente para responder plenamente a su pregunta sobre $\sin(\pi/2)$ .

La identidad pitagórica: Por propiedades de las series, la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ y la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$ . Ahora diferenciar $\sin^2 x+\cos^2 x$ . Obtenemos $2\sin x\cos x-2\cos x\sin x$ . Esto es $0$ Así que $\sin^2 x+\cos^2 x$ es constante. Es fácil demostrar que la constante es $1$ .

Las leyes de adición: Demostramos las leyes de adición para el seno y el coseno. Fijar $y$ y que $$\begin{align}f(x)&=\sin(x+y)-\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right) \\ g(x)&=\cos(x+y)-\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)\end{align}$$ Es fácil comprobar que $f'(x)=g(x)$ y $g'(x)=-f(x)$ . Ahora dejemos que $S(x)=f^2(x)+g^2(x)$ . Encontramos, como en un cálculo anterior, que $S'(x)=0$ . Así que $S(x)$ es constante. Pero fácilmente por sustitución $S(0)=0$ . De ello se desprende que $S(x)$ es idéntico $0$ y siguen las leyes de adición del seno y del coseno.

Sobre la definición $\pi$ : Podemos utilizar la serie para estimar $\cos 1$ y demostrar que está estrictamente entre $1/2$ y $13/24$ . De esto se deduce por $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ que $\cos 2$ es negativo. Por continuidad, hay un número positivo más pequeño $q$ tal que $\cos q=0$ . Definir $\pi$ para ser $2q$ .

El valor de $\sin(\pi/2)$ : Desde $\cos q=0$ tenemos por la definición de $\pi$ que $\cos(\pi/2)=0$ . Por la identidad pitagórica, tenemos $\sin(\pi/2)=\pm 1$ . Pero no puede ser $-1$ ya que desde $\pi/2$ es el menor cero positivo de $\cos x$ la función seno es creciente desde $0$ a $\pi/2$ .

Observación: Parece mucho trabajo, pero una vez establecidas las bases, el resto va sobre ruedas. Probamos las leyes de adición completas en lugar del fragmento necesario para $\sin(\pi/2)$ para dejar claro que otros hechos estándar no son difíciles de derivar.

Answer 2

A problema relacionado . La idea de las series de Taylor es aproximar una función en términos de funciones más simples (polinomios), que podemos multiplicar, sumar y restar fácilmente. Por ejemplo,

$$ \sin(\pi)\approx \pi-\frac{\pi^3}{3!}+\frac{\pi^5}{5!}-\frac{\pi^7}{7!}+\frac{\pi^9}{9!} = 0.00692526980. $$

Tenga en cuenta que, cuanto más número de términos tome, más se acercará al valor exacto $0$ .

Answer 3

Hay varias formas de definir $\cos$ y $\sin$ ya sea como soluciones de ecuaciones diferenciales, a través de la función exponencial, o como series infinitas. En todos los casos hay que probar algo del tipo siguiente: Hay un número real $\tau$ entre ${3\over2}$ y ${8\over5}$ , digamos, tal que $\cos t>0$ para $0\leq t<\tau$ y $\cos \tau=0$ . Este número $\tau$ se llama ${\pi\over2}$ . De la fórmula de Euler (o similar) se deduce entonces que $\exp(2\pi i)=1$ que a su vez implica la periodicidad de $\cos$ y $\sin$ .

Para la prueba hay que utilizar propiedades de $\cos$ y $\sin$ derivadas de la ecuación diferencial, o estimaciones obtenidas al observar la serie exponencial. No se apela a la geometría euclidiana elemental.

Un tratamiento adecuado puede encontrarse aquí: Walter Rudin, Principios del análisis matemático , capítulo 8, sección 3: Las funciones trigonométricas .