El jugador que mantener la pelota, pasando la derecha como por la plaza de la serie

Question

Hay 10 personas, tener una camiseta con el número marcado como 0, 1, 2,.....,9. Ellos están de pie en un arreglo circular, como se muestra en la figura:

En un juego, están pasando la pelota hacia la derecha de la siguiente manera:

El juego comienza con el 0 marcados jugador que tiene el balón.

Después del final de la 1ª vta, la pelota se pasa $1^2 = 1$ tiempos, es decir, la bola termina en el 1 marcado jugador.

Al final de la 2ª ronda de la pelota es más pasado $2^2 = 4$ tiempos, la pelota termina en el 5 marcado jugador

Al final de la 3ª ronda de la pelota es más pasado $3^2 = 9$ momento, es decir, el balón termina en las 4 marcado jugador.

La pregunta es:-

el jugador que mantenga la bola, al final de 2018th ronda ?

En solución, Yo expresó el cuadrado de cada número natural, de acuerdo a la divisibilidad por 10. Por lo tanto, lo que se suma a ellos, he encontrado que la respuesta debe ser el 9 jugador marcado

¿No es correcta?

Answer 1

$9$ ve a la derecha.

Usted puede obtener un poco más rápido que sumar 2018 plazas mediante el uso de uno (o ambos) de los dos trucos:

Primero, encuentre o derivar una fórmula para la suma de los $n$ primeras plazas, y el enchufe $2018$ a que. (Yo no voy a recordar la fórmula, pero sé que es un polinomio cúbico, y que pueda derivar los coeficientes mediante el ajuste de un cúbicos a los valores conocidos $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=5$, $f(3)=14$).

Segundo, cada grupo de $100$ sucesivas rondas de dejar la bola en su posición original-porque sólo el último dígito de cada número redondo asuntos para su movimiento, y después de $100$ ronda cada dígito se han aparecido $10$ veces, por lo que sus importes se cancelan uno al otro modulo $10$.

Por lo tanto, usted realmente sólo necesita la suma de los cuadrados de los primeros a $18$ rondas -- el resto de $2000$ rondas dividida en grupos de a $100$ y por lo tanto no tienen ningún efecto neto.

Answer 2

Tal vez un error tipográfico en su respuesta, pero su enfoque está perfectamente bien.

Tenemos $$\sum_{i=1}^{2018} i^2 \pmod {10} \equiv 9$$ not $0$. Tratamos de probar el hecho. Espero que ayude.