cómo encontrar las puntas de las ramas y cortar

Question

para $\sqrt {z^2+1}$ ¿cómo puedo encontrar las puntas de las ramas y los cortes?

Dejé $z=re^{i \theta +2n \pi }$ y sustituirlo por

$$\sqrt {r^2 e^{i(2 \theta +4n \pi )}+e^{2k \pi }}=$$ entonces, ya no sé cómo lidiar con esto

y adivinando, creo que los puntos de la rama deberían ser $i,-i$ y el corte es $[-i,i]$

Answer 1

Tu solución es correcta, pero como estás adivinando, lo explicaré.

Los valores de $z$ que hacen que la expresión bajo la raíz cuadrada sea cero serán puntos de ramificación; es decir $z = \pm i$ son puntos de ramificación. Sea $z - i = r_1e^{i\theta_1}$ y $z +i = r_2e^{i\theta_2}$ . Entonces $f(z) = \sqrt{z^2 + 1} = \sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2)/2}$ .

1. Si no rodeamos ningún punto de la rama, después de una revolución, $f(z)\mapsto f(z)$ .
2. Si rodeamos $z=i$ pero no $z = -i$ entonces $$\sqrt{r_1}e^{i(\theta_1+2\pi)/2} = \sqrt{r_1}e^{i\theta_1/2}e^{\pi i} = -\sqrt{r_1}e^{i\theta_1/2}$$ Por lo tanto, $f(z)\mapsto -f(z)$ que tiene un valor múltiple
3. Lo mismo ocurre cuando rodeamos $z=-i$ pero no $z=i$
4. Rodeemos los dos puntos de ramificación. $$\sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2+2\pi+2\pi)/2} = \sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2)/2}e^{2\pi i} = \sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2)/2}\cdot 1$$ Así que $f(z)\mapsto f(z)$ Todavía se valora la soltería.

Podríamos elegir $[i, \infty)$ y $[-i, -\infty)$ , pero desde el punto 4, hemos visto que recorrer ambos puntos devuelve la función a su valor original. Por lo tanto, podemos elegir un corte de rama finito, a saber, $[-i, i]$ .