Probabilidad de que un punto esté más cerca de un lado que de una diagonal

Question

Así que tengo un rectángulo en el que se elige un punto al azar. Un lado es $a$ y el otro es $b=a\sqrt3$ . Se supone que debo hallar la probabilidad de que un punto esté más cerca de un lado que de la diagonal más cercana.

He encontrado la probabilidad de que el punto esté más cerca de $a$ (0,71) y a $b$ (0.24). Ahora me preguntaba cómo puedo juntar estas dos probabilidades para formar la probabilidad pedida. Gracias

Answer 1

Respondí a una pregunta muy parecida con un cuadrado en lugar de un $\sqrt3$ rectángulo aquí .

Los puntos de la zona sombreada están más cerca de un lado que de una diagonal. El rectángulo se divide en cuatro triángulos, cada uno de los cuales contiene un triángulo sombreado; los vértices de los triángulos sombreados son los incentros de los triángulos mayores en los que se encuentran.

Suponiendo que el lado más corto es 1, los triángulos sombreados al este y al oeste tienen altitud (desde los lados del rectángulo) $\frac1{2\sqrt3}$ por lo que tienen una superficie combinada de $\frac1{2\sqrt3}$ también. Los del norte y del sur tienen altitud $\frac{\sqrt3}2\tan15^\circ=\sqrt3-\frac32$ y área combinada $\sqrt3(\sqrt3-\frac32)=3-\frac{3\sqrt3}2$ . Por lo tanto, la zona sombreada es $3-\frac{3\sqrt3}2\frac1{2\sqrt3}=\frac{9-4\sqrt3}3$ . El área del rectángulo es, por supuesto $\sqrt3$ por lo que su proporción sombreada -y por tanto la probabilidad de que un punto en su interior esté más cerca de un lado que de una diagonal- es $$\frac{9-4\sqrt3}{3\sqrt3}=\sqrt3-\frac43=0.398717\dots$$

Answer 2

Las áreas rojas son de puntos más cercanos a un lado del rectángulo. Su área es la suma de los triángulos, dos acutángulos y dos obtusángulos.

Los dos acutángulos son cada uno $1/3$ del triángulo equilátero de lado $1$ y medias diagonales. Una diagonal es $\sqrt{3+1}=2$ por lo que la media diagonal es $1$ (por eso son equiláteros).

Entonces el área de los dos acutángulos es $2\times \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{6}$

Como sus lados son la bisectriz del ángulo de la $30°$ ángulo los dos obtusángulos tienen el vértice que es el incentro (centro del círculo inscrito) del triángulo mayor formado por las diagonales cuya área es $\dfrac{\sqrt 3}{4}$ y cuyo perímetro es $2+\sqrt 3$ .

El radio del círculo inscrito es $h=\dfrac{area}{half\,perimeter}=\dfrac{\frac{\sqrt 3}{4}}{\frac{2+\sqrt 3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}$

Los dos triángulos obtusángulos tienen un área $\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{3}{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}$

Por lo tanto, la zona roja es $\dfrac{\sqrt 3}{6}+\dfrac{3}{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{1}{3} \left(9-4 \sqrt{3}\right)$

El área del rectángulo es $\sqrt 3$ por lo que la probabilidad de obtener un punto más cercano a los lados del rectángulo es $p=\dfrac{\frac{1}{3} \left(9-4 \sqrt{3}\right)}{\sqrt 3}=\dfrac{1}{3} \left(3 \sqrt{3}-4\right)\approx 0.3987$