Grado de inercia en las extensiones ciclotómicas

Question

Dejemos que $\zeta$ sea una primitiva $l$ raíz de la unidad, donde $l$ es primo. Si $p$ es otro número primo, dejemos que $f$ sea el orden de $p$ en $U(\mathbb{Z}/l \mathbb{Z})$ . Entonces en $\mathbb{Z}[\zeta]$ , $p$ factores como producto de $\frac{l-1}{f}$ primos no ramificados, cada uno con grado de inercia $f$ .

¿Y en una extensión ciclotómica arbitraria? Si $\zeta$ es una primitiva $n$ raíz de la unidad y $p$ no divide $n$ (por lo tanto $p$ no está ramificado en $\mathbb{Z}[\zeta]$ ), ¿cómo es que $p$ ¿factor? Soy consciente de que esto es equivalente a la factorización de la $n$ El polinomio ciclotómico módulo $p$ pero me preguntaba si se conocía algún resultado general al respecto.

Answer 1

Si identifica $G = \text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)$ con $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ de la forma habitual, y $(n,p)=1$ entonces el Frobenius $\sigma_p \in G$ en $p$ es precisamente la clase de $p$ en $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ . El orden de $\sigma_p$ es por tanto igual al orden multiplicativo $f$ de $p$ modulo $n$ . Desde $p$ es unramificado, se deduce que el grupo de descomposición en $p$ tiene orden $f$ y que $p$ factores como producto de $|G|/f = \varphi(n)/f$ primos distintos en $\mathbb Z [\zeta_n]$ .